CONIQUES CIRCONSCRITES OU INSCRITES A UN QUADRILATÈRE

1173. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs (réeis imaginaires)^ il existe sur une droite quelconque de leur plan points conjugués par rapport à toutes ces coniques. Car les segmenCâ interceptés sur la droite par les diverses coniques forment une involiH lion (ii72); les points doubles ( réels ou imaginaires) de cette involttUon divisent harmoniquement chacun de ces segments et, par suite, sont conjugués par rapport à chacune des coniques.

Dans le cas particulier où la droite est à l'infini, on a ce théorème : Toutes les coniques passant par quatre points donnés ont un système (réel ou imaginaire) de diamètres conjugués, parallèles entre eux.

Le théorème corrélatif sur les coniques tangentes à quatre droites s'énonce : Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un même quadti'latère (réel ou imaginaire) ^ il passe par chaque point de leur plan deux droites (réelles ou imaginaires) qui sont conjuguées par rapport à tomes ces coniques.

1174. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs ( /vWf om imaginaires) , les polaires d'un point fixe quelconque P de leur plan ptsr rapport à ces courbes passent par un même point (Lamé, Examen des différentes mét/u)des,„; i8i8).

Soit P' le point commun aux polaires de P par rapport à deux A et B des coniques considérées; les points P et P' sont conjugués par rapport à A et B et, par suite, d'après le théorème précédent, par rapport à toute conique C du groupe ; donc le point P' est sur la polaire de P par rapport à la conique C.

Dans le cas particulier où le point P est à Tinfini, on a cette proposition ; Quand plusieurs coniques passent par quatre points donnés, les diamètres de ces courbes, conjugués à une même direction, passent par un même point.

Les théorèmes corrélatifs s'énoncent :

Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, les pôles d'une droite quelconque de leur plan par rapport à ces courbes sont en ligne droite.

Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrUatère est une droite passant par les milieux des diagonales (Newton).

1175. Les bissectrices de tout système de deux cordes communes à un cercle et à une conique sont parallèles aux axes de la conique.

En effet, si par le point commun aux deux cordes C et C on mène des parallèles L et L' aux axes de la conique, les droites L et L' sont évidemment parallèles au système des diamètres conjugués qui sont comnans en

UVRB YIII. — LES COURBES USUELLES. 4%

direction au cercle et à la conique (1146); ces deux droites rencontrent donc la droite à Tinlini en deux points conjugués à la fois par rapport aux deux courbes, et par suite aussi conjugués par rapport aux cordes communes C et C; donc L et L' sont conjuguées harmoniques par rapport à C et à C, et, comme elles sont rectangulaires, elles divisent en deux parties égaies les angles formés par ces cordes.

II résulte de là que, pour que deux coniques se coupent en quatre points situés sur un même cercle , il faut et il sujjlt que leurs axes soient parallèles ou perpendiculaires.

Lorsque trois des quatre points communs à un cercle et à une conique se réunissent en un seul M, on dit que le cercle est osculateur de la conique au point M. La tangente en M et la corde IMN qui joint le point de contact M au point de section N des deux courbes sont alors, d'après le théorème précédent, également inclinées sur un quelconque des axes de la conique. Cette propriété permet de déterminer le point N et, par suite, le cercle osculateur en un point donné M d'une conique.

On calcule aisément le rayon de ce cercle à Taide d*un théorème élégant dû à Mac-Cullagb, Dublin, i836 : Le rayon R du cercle qui passe par trois points M, N, P, d*une ellipse est égal au produit des demi-diamètres m y /i, Pf parallèles aux côtés du triangle formé par ces trois points, divisé par le produit ah des demi-axes. En effet, en divisant l'égalité (428)