NP.PM.MN

^ 4MNP par régallté analogue

relative aux points correspondants M', N', P', du cercle dont Tellipse est

la projection, on a

n MNT^ NP PM MN ,

fl ~ MNP NP' PM' BTÎ^' mais le premier rapport du second membre est égal à t (706, 1056) et

tes autres sont égaux respectivement à ~) -i -^ puisque deux droites

parallèles sont entre elles comme leurs projections. La relation précédente se réduit donc à

ab

Si les pointa N et P se réunissent en M, les quantités m, a, p, deviennent égales au demi-diamètre^ parallèle à la tangente en M, et Ton

a pour le rayon du cercle osculateur en M l'expression -^ ou encore, en

/|4 > GÉOMftTRIB DÀ!f8 l'bSPàOE.

vertu du second théorème d*ApolioDiuSy Texpression — > dans laquelîe p désigne la distance du centre de l'ellipse à la tangente au point M. Cette expression se réduit à — ou à -t- quand le point considéré est Textrémité du grand axe ou du petit axe.

GONIQOBS TANGBNT£8, BITANGENTBS, OSCULATAICSS.

1176. Coniques tangentes, — Quand deux coniques se touchent en un point a, ce point est la réunion de deux points communs a et 6^ et il d« reste plus que deux autres points communs c et d, qui sont réels ou imaginaires conjugués.

La tangente en a et la droite cd forment un couple de cordes œmmunes; ce couple est réel. Quant aux deux autres couples, ils se confondent en un seul ac et ad^ qui est réel si c et d sont réels et imaginaire si ceXd sont imaginaires.

Outre la tangente en a, il n'y a plus que deux tangentes oommunei réelles ou imaginaires ; leur point d'intersection et le point a forment no système d'ombilics réels, et il n'y a plus qu'un autre couple d*ombi!îc8: œ sont les points réels ou imaginaires où la tangente en a rencontre les deux autres tangentes communes.

Coniques bitangentes, — On dit que deux coniques sont bitwfgenus ou ont un double contact lorsqu'elles se touchent en deux points ; nous désignerons ces deux points par g et /r, et le point d'intersection dea tangentes en g et h par A.

Il n'y a plus encore ici que deux systèmes de cordes communes; le premier est formé par les tangentes kg et A/i, et le second par la droite double ou oorde de contact gh. Les points g%i h forment un couple d'ombilics, et le point k forme à lui seul le second couple.

Quant à la réalité, il faut distinguer deux cas, suivant que le dotthie contact des deux coniques est réel ou imaginaire^ c'est-à-dire suivant que les points ^ et A sont réels ou imaginaires conjugués. Dans le premier cas, les cordes communes et les ombilics que nous venons d'énumérer sont tous réels. Dans le second cas, la corde de contact gh forme Je seul couple de cordes communes réelles et son pôle k forme le seul couple dumbflics réels.

Quand deux coniques ont un dùttble contact :

i^ Les polaires d*un point quelconque M de leur plan se coupent sur la cortle de contact; car elles doivent se couper (4174) sur la polaire de M par rapport aux systèmes des deux cordes communes cenliaiidues avec la corde de contact, polaire qui coïncide avec cette dernière corde.

LIYBB Tlll. ^ LIS COURBES U8UBLLBS. 44^

a® Les pôles d'une droite quelconque à sont en ligne droite açec le pâle de la corde de contact qu'on nomme pôle de contact; c'est la propoailkm corrélative de la précédente.

3** Tout point X- de la corde de contact est un pôle double, car, poui^ chacune des coniques^ la polaire de k contient lepôle de contact et le point ^ conjugué harmonique de k par rapport aux deux points de contact. Nous trouvons ainsi un cas d'exception à la proposition : deux coniques n*ont, en général, que trois pôles doubles.

Coniques osadntrices. — On dit que deux coniques sont oseuiatrices ou qu'elles ont un contact du second ordre lorsque trois de leurs points communs sont réunis en un seul que nous appellerons o». Elles ont alors un quatrième point d'intersection dqui est toujours réel, et, outre la lan*gente en &>, une tangente commune réelle ^; soit t le point où la tangente en w rencontre la tangente d,

11 n'y a qu'un système de cordes communes ; il est réel et formé par la tangente •*/ et par Ja corde tad, 11 n'y a aussi qu'un couple â*ombiHes : ce sont les points réels u et t.

On dit que deux coniques ont un contact dti troisième ordre, lorsque leurs quatre points communs sont réunis en un seul &>. Les quatre tangentes communes sont alors confondues en une seule qui est la tangente <*>! au point m. Cette même droite ^t est la seule corde commune et te point 6» le seul ombilic.

GONIOtJBS liOHOLOGlQUBS.

1177. La figure ftomologique d'un cercle, lorsqu'on prend le centre du cercle pour centre d'tiomologie, est une conique qui a ce centre pour foyer; car si, dans ravant-dernière formule du n* 730, Om' est constant,

il en est de même du rapport — r, par suile, le rapport des distances

d'un point quelconque m de la Bgure cherchée au point fixe 0 et à la droite fixe I est constant.

Par suile, une conique étant donnée, on voit qu'il faut placer le centre d*homo1ogie 0 à l'un des foyers pour que la figure homologique soit un cercle de centre O.

C'est cette propriété que M. Chasles prend pour définition des loyers dans son Traité des Sections coniques. La marche que nous avons suivie (n** 1155 et suivants) est à la fois plus directe et plus simple.

1 178* La figure homologique d'une conique C est une conique C. Ro eifet, P et 0 étant deux points fixes pris arbitrairement sur la conique doanée C» et m un point variable de <^tle conique, les droites

44^ GfiOMfiTRlIS DANS l' ESPACE*

P/«, Qw, engendrent deux faisceaux Iiomographiques (HSO). Or, û F, Q', m', sont les homologues de P, Q, iw, le faisceau engendré par V*m tournant autour du point fixe F sera homographique du faisceau engendré par F/» (73i); de môme, le faisceau décrit par Q'w' sera homographique du faisceau décrit par Qm. Donc les faisceaux engendrés par P'w' et Q'm' sont homographiques, et (i13i) le lieu du point m' est une conique. -- A un point p et à sa polaire L relatifs a fa première conique C, répondent dans la seconde conique un point p* et sa jxfiaire V. Car aux quatre points harmoniques /?, a, q, A, situés sur une transversale issue du point ^, et qui coupe la conique G en a et ^ et la polaire L en q, répondent quatre points/?', a', ^, b\ qui sont aussi harmoniques (73i). On voit par là qu'à deux points ou à deux droites conjuguées retatipement à la conique C répondent deux points ou deux droites conjugtÊées relativement à la conique C — Vaxe d'/tomologie XX' est une corde commune aux deux coniques C et C, En effet, les points communs à la conique G et à Taxe XX' sont les points doubles des deux divisions homographiques tracées sur XX' par les faisceaux générateurs Pm et Qm di* cette conique. De môme, les points communs à la conique G' et à XX'^ sont les points doubles des deux divisions tracées sur XX' par les faisceaux P/n' et Q'/ii'; mais les rayons homologues des faisceaux P et P* «e coupent sur Taxe XX', aussi bien que les rayons homologues des faisceaux Q et Q'. Donc les points doubles sont les mômes pour les deux divisions. — Enfin on voit, soit par un raisonnement corrélatif du précédent, aoit en appliquant à la propriété précédente la transformation par polaires réciproques, que le centre d'homologie S est un ombilic des deux coniques.

Réciproquement, deux coniques quelconques G et G' sont deux figures lufmologiques dans lesquelles l *axe d'homologie est une cortié commune et le centre d'homologie un ombilic correspondant à cette corde, Considérons le trianglep/>'/>', dont chaque sommet est le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques [Jfîg. 6oi] ; par chaque sommet passent deux cordes communes, et sur chaque côté sont situés deux ombilics ; nous appelons ombilics correspondant à une corde commune les deux ombilics placés sur le côté du triangle pp'p' opposé au sommet qui est silué sur la corde commune considérée. Gela étant, soient XX' une corde commune aux deux coniques proposées, qui les coupe en cet/, et S Tun des deux ombilics correspondants ; a étant un point quelconque de la conique G, la droite Sa rencontre la conique G' en deux points : déagnons par a' celui de ces deux points qui, lorsque la sécante Sa tourne autour de S, vient se réunir avec a au point e. Si, en prenant S pour centre d'homologie, XX' pour axe et (a, a') pour un couple de points homologues, on construit la figure homologique de G, on trouve une