LIVRE Vlll. — LES COURBES USUELLES
conique C, qui, ayanl en commun avec la conique C les points a'^ e^ /, et 1 es deux tangentes issues de S, ne diffère pas de la conique G'. Donc G et C sont homologiques.
Il faut cependant, d'après la démonstration môme, que les deux coniques soient placées de telle façon, que toute transversale issue de Fombilic S rencontre les deux courbes en des points qui soient à la fois réels ou à la fois imaginaires pour les deux coniques.
De plus, comme il peut y avoir six cordes communes, et qu'à chacune «relies répondent deux ombilics, on voit que deux coniques peuvent être /tomologiques de douze manières afférentes.
Parmi les nombreux corollaires de cette réciproque, nous citerons les deux suivants :
Lorsque deux coniques se touchent en un point  et se coupent en deux autres points B et G réels ou imaginaires, le point A est un centre d'bomologie, et la corde commune BG, qui est toujours réelle, est Taxe d'homologie correspondant.
Lorsque deux coniques ont un foyer commun, le foyer est un centre d*homoIogie, puisqu'il est le point de concours de deux tangentes communes imaginaires (116â).
1179. Voici quelques applications de la théorie de l'bomologie aux coniques :
I** Gonsidérons une conique G et un cercle G' ayant un foyer F de la conique pour centre. Ges deux courbes sont homologiques, et F est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de F ci)mme sommet, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique au premier ; donc la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique G'. D'ailleurs, deux cercles concentriques ont un double contact sur la droite de TinGni; donc, les coniques il et G' ont un double contact (imaginaire) sur la directrice correspondant au foyer F, attendu que cette directrice, étant la polaire du foyer, correspond à la droite de TinÛni dans le cercle, laquelle est la polaire du centre. Ainsi, lorsqu'tin angle de grandeur constante tourne autour du fojrer d'une conique comme sommet, la corde qu*il intercepte dans la conique enveloppe une nouvelle conique doublement tangente à la pro* posée sur la directrice relative au foyer considéré.
%* Soient une conique G et un cercle G' tangent en S à cette conique. Ges deux courbes sont homolo^ques, et S est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de S comme sommet, la corde interceptée dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. Donc, la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique G" doublement tangente à la première, suivant la parallèle & Taxe d'homologie qui
y^l^ GÉOMÉTRIE DANS L*£SPACB.
répond à Tinfini du cercle. Ainsi, lorsqu'un angle de grandeur conUafUf tourne autour d*un point d*une conique comme sommet, la corde inurcvptée dans la conique enveloppe une autre conique qui a tut doublé cou» tact avec la première.
En particulier, si Pangle est droit, la corde interceptée dans le ccrrif passe par le centre de ce cercle, c'est-à-dire par un point fixe sitoé sir la normale commune aux courbes C et C au point S. Donc, ^juand un angle divit pivote autour d'un point S d'une conique comme sommet^ h corde interceptée dans la conique passe par un point fixe situé sur it normale en S à la conique. C'est le théorème de Frégier, que nous a\ou démontré déjà directement au n*" 1139.
3** La transformation homologique permet de ramener les quesii^ns graplnques relatives aux coniques à de simples questions du môme genre relatives au cercle. Tout consiste à tracer dans le plan de la conique ud cercle et à déterminer, d'après les conditions qui définissent la conique, le centre et l'axe d'bomologie de la conique et du cercle. On aura alor* tout ce qu'il faut pour résoudre, sans peine et à Taide de la règle seule, les diverses questions graphiques relatives à la conique.
Supposons, par exemple, qu'on demande de déterminer le centre et Vn axes d'une conique donnée par quatre points 0, a, 6, r, et par la uzigenteO/ au point 0.
On tracera un cercle quelconque langent en 0 à la droite 0/; ce oerci« sera homologique de la conique par rapport au centre d'homologîe O. Ea joignant le point 0 aux points a, b, c, on aura, par les intersections d<fS droites Oa, 0^, Oc, avec le cercle, les points a\ b\ c/, homologues <3e 0, 6, c. On se trouvera alors dans les conditions du n^ 729 ( i*), et T* n saura trouver le point de la figure F qui répond à un point pris à volonté dans la figure F', ce qui permettrait de tracer la conique par points. Oi déterminera (730) la droite limite J' de la figure F'; cette droite pourra rencontrer le cercle en deux points Ji^ijr\ ou le toucher en un seul {>oiiit z\ ou être extérieur à ce cercle.
Dans le premier cas, la conique aura deux points à l'infini, placés sur Ox' etoy; ce sera donc une hyperbole, dont on aura les asymptotes eo cherchant les homologues des droites p'x\p*^\ qui touchent le cerc!e aux points x' et y.
Dans le deuxième cas, la conique n'aura qu'un point à l'infini stiur sur Oz'; ce sera une parabole dont l'axe, d'ailleurs parallèle à Os', s'obtiendra en prenant la polaire du point situé & l'infini sur la direction perpendiculaire à Oz'.
Dans le troisième cas, la conique n'ayant aucun point à l'infini sera une ellipse, dont on aura le centre en prenant l'homologue /u do pôle p* de i' par rapport au cercle.
Dans le cas de Thyperbolo, les axes sont parallèles aux bissectrices des angles des droites Ox' et 0/ qui sont les directions asymptotiques. Mais on peut obtenirces parallèles aux axes sans faire intervenir les droitesOx' et oy^ de manière à avoir une construction qui s'applique au cas de Vellipse, dans lequel Ox^ et Oy sont imaginaires. Il suffit de tracer le diamètre du cercle qui passe par le point p* ; les directions demandées seront celles des droites qui joignent le point 0 aux extrémités de ce diamètre.
CONIQUES HOMOTBÉTIQUBS.
i 180. On sait que deux Bgures bomolhétiques ne sont autre chose que deux figures homologiques dont Taxe d'homologie est à TinGni (732). Il suit de là et des propriétés démontrées au n"* 1178 que ta ,figure homothétique d'une conique est une conique, et que deux coniques homothétiques ont une corde commune à l'injïni. Réciproquement, lorsque la droite de Vinjini est une corde commune à deux coniques C et C, ces courbes sont homothétiques. En effet, si deux points de la droite de Tinfini sont conjugués par rapport à Tune des coniques, ils sont conjugués par rapport à Tautre ; par suite, deux diamètres conjugués quelconques de la courbe C sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe C. Cela posé, soient AB et A'B' deux diamètres parallèles des coniques C et C ; M étant un point quelconque de C, ÂM et BM sont parallèles à deux diannètres conjugués de C, et, par suite, les parallèles Â'M' et B'M' à AM et à BM se coupent en un point M' de la conique C. Or (360), les points M et M' ainsi déterminés décrivent deux figures homothétiques
AB dont le rapport de similitude est rr^-
Il ré6ul le de là que toute conique passant par les deux points cycliques de son plan est un cercle, car, ayant la droite de l'infini pour corde commune avec un cercle quelconque de ce plan, elle est homothétique à ce cercle.
1181. Deux coniques homothétiffues et concentriques ont un double contact sur la droite de lUnfini, En effet, soient • et f les points communs aux deux coniques et à la droite de l'infini. Les tangentes en c et ^ à la première conique doivent passer par le pôle de cf, c*e3t*à-dire par le centre 0 de cette conique ; de même, les tangentes en « et ^ à la deuxième conique doivent passer par 0 ; donc les deux coniques ont les mêmes tangentes en c et f. Réciproquement, tleux coniques qui ont un double contact sur la droite de Vinfini sont homothétiques et concentriques ; car d^abord elles sont homothétiques, puisque la droite de Tinfini est une corde commune, et, d*auire part, le centre de chacune d elles doit être le pôle de la droite de l'infini, qui est le même pour les deux
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coniques, puisque c'est le point de concours des tangentes corannaes en s et f •
M82. Deux figures semblables ne diffèrent en déûnitive que par Téchelk à laquelle elles sont construites, de sorte qu'un simple cbangemenl déchelle les rendrait égales. Donc, pour trouver les conditions de simUitwie de deux courbes de même espèce, il suilit de distinguer, d'après la déânition des courbes de cette espèce, les données distinctes et indépendantes relatives à la forme des données relatives à la position. Par exemple, si la connaissance d'une seule grandeur suffit pour déterminer la forme d'une courbe d'une cerlaine espèce, toutes les courbes de celte espèce sont semblables, car un simple changement d'échelle percei de les faire coïncider. Ainsi tous les cercles sont semblables, toutes /» paraboles sont semblables. Si la forme de la courbe dépend de plusieurs données distinctes et indépendantes, il faut que les données angulairr-f homologues soient égales et les données linéaires homologues proportionnelles ; car, le changement d'échelle ne permettant de rendre ^aux qi» deux éléments linéaires homologues, Tégalilé des autres éléments linéaires homologues doit résulter de celle des deux premiers. C'est ainsi que \i similitude de deux ellipses ou de deux hyperboles consiste dans la proportionnalité de leurs axes.
Quand deux paraboles ont leurs axes parallèles, elles sont hGmfjiétiques; elles touchent la droite de l'inGni au même point : c'est le p.iat situé sur leurs axes parallèles.
MÉTHODE FONDÉE SUR LA PROJECTION GOlfIQUB.
1183. Nous avons dit que c'était surtout à propos des coniques qo*apparaîtrait la portée de cette méthode, dont nous avons exposé tes pi«> miers principes aux n*" 725, 726 et 727.
Voici un premier exemple, important par lui-même et par la facilité avec laquelle la méthode s'y applique :
Un triangle ABC étant tracé dans le plan d'une conique gui fr*> contre ses côtés consécutifs AB, BC, CA, en trois couples de points (r , r^, (a, a'), (b^b')y les segments que cet points forment sur (es côtés oiu entre eux la relation
kb.kb' Ç/i.Cq^ Bc.Bc^ C^.C^''Brt.Ba''Ac.Ac'""''
En effet, cette relation est projective ; car, lorsqu'on a chassé le dénominateur, on voit qu'elle satisfait aux conditions prescrites dans le n^727. D'ailleurs, elle est évidente sur le cercle, à cause de la propriété des se-
