UVHB VIII. ^ LES GOURDES USUELLES

cant66 ; donc elle convient à une section conique quelconque, puisqu'une telle courbe peut toujours ôtre projetée suivant un cercle.

Ce théorème, dû à Carnot ( Géométrie de position ^ p. 4^7), est la généralisation de celui do Ménélalis (3i0). Il a de nombreuses conséquences. Par exemple, si le sommet B du triangle ABC est à l'infini, la relation

précédente devient

kb.kb' ^Ç.b,Ch'

Ac.Ac' C^/.Crt'

Or, si par un point quelconque D de la droite Çtoa! on mène une parallèle à AC,qui rencontre la conique en e et e\ on aura de même

Dg.Dg'C^.C^* Drt.Dfl'"'Cr/.C-'/''

d*où, en rapprochant les deux équations précédentes.

Donc : Si dans le plan d'une conique on mène par un point quelconque k deux droites parallèles à deux axes fixes, le rapport des produits des segments [réels ou imaginaires) que la courbe détermine sur ces droites n partir de leur point commun A est constant. Ce théorème est dû à Newton (Énuniéraiion des courbes du troisième ordre),

1184. Pour montrer toute la fécondité de cette méthode relativement à la recherche des propriétés des sectionsconiques, il faut établir quelques nouveaux principes.

i" 0/1 petU projeter une conique C de telle sorte qiCune droite L tle son plan passe à V infini y et qu'un point f de ce même plan se projette au foyer de la nouvelle conique C. — Le point F doit, d'après cela, ôtre à l'intérieur de la conique C. Par suite, l'involution déterminée sur la droite L par tous les couples de droites conjuguées issues du point F a ses points doubles imaginaires (1140), de sorte qu'il existe de part et d'autre de L deux points P et P' de chacun desquels on voit sous un angle droit les divers segments de l'involution. Plaçons le sommet S du cône sur la circonférence décrite, dans un plan perpendiculaire à celui de la conique C, sur PP' comme diamètre, et prenons pour plan de projection un plan parallèle à celui du sommet S et de la droite L. De cette façon, la droite L passera à rinfini dans la projection , et chaque couple de droites conjuguées issues du point / deviendra en projection un couple de droites rectangulaires et conjuguées par rapport à la conique ÇJ. La projection du point/sera donc (1155) un foyer de cette nouvelle courbe C. Ajoutons que cette conique C sera une hyperbolo, une ellipse ou une parabole.

sttîTant que la droite L coupera la conique primitive C en deux poisu réels, imagmaires ou coïncidents.

Le pôle 0 de la droite L, par rapport à la ooniqne C, deviendra eo projection le centre de la conique C (iliâ). On peut donc prvjeier urne rv» niqtw C rie manière que deux points f et o de son plan deviennemt^ t*i projection, Vun le foyer. Vautre le centre de la noupcUe conique C.

En particulier, si /coïncide avec le pôle o de la droite L par rapport à la conique G, le même point sera en projection te centre et le foyer de la nouvelle conique C, qui dès lors sera un cercle. On peut ilone pf fréter iirte conique suivant un cercle de telle sorte qi^un point de son pian se projette au centre du cercle ou qu*une droite de son plan passe et Pinfini.

a*^ On peut projeter deux coniques situées dans un même plan ssdtant deux cercles. —Il faut évidemment que les deux coniques proposées aient au plus deux points communs réels ; il existe alors une corde eonumne réeNe qui rencontre les deux coniques en deux pointa imaginaires (i170, a*"). En projetant de telle sorte que l'une des coniques devienne un cercle et que cette corde commune passe à l'inOni , l'autre coniqae donnera aussi un cercle, car les deux courbes ayant en projection um corde commune à rinfini seront homothétiques (il80), et la figure homofhétique d^un cercle est un cercle.

' tSi^ tes deux coniques proposées ont un double eontnrt imtrginatre, on peut les projeter suii*ant dettx cercles concentriques. Car, en projetasl Pane des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de eon* tact passe à l'infini, Taulre conique donnera un cercle de même oestre. puisque les deux courbes en projection ayant un double contact sur b droite de l'infini devront être homothétiques et concentriques.

Les deux droites qui joignent le foyer d'une conique aux pointe dreo- Ikires à Tinfini sont tangentes à la conique (4i62), et la corde de ooatai : est la polaire du foyer, c'est-à-dire la directrice. Donc, €leux eoniquet qot ont même foyer et même directrice peupent être projetées suivent detts Cercles concentriques, attendu qu'elles ont un double contact imeginairp sur la directrice commune.

3* On peut projeter une conique G de telle sorte que deux points (Ib^ teneurs) de son plan,fetf\ deviennent en projection les deax foyers ti^ la nouvelle conique G'. — En effet, en désignant par a et a' les points va la droite jfjT' coupe la conique C, et par k et k' les points qsi divisent i la fois harmoniquement les segments nt/ et ff\ il suflSt deprojelerde telle sorte que /et k deviennent l'un le foyer, l'autre le centre de la noih Veile conique C Alors la projection de/' sera évidemment Tautre foyer.

On peut projeter deux coniques situées dans un même pUm ttàivef.t

• deux coniques confocnles. — Ces deux coniques doivent avoir on scïil

couple d'ombilics réels, et ces deux ombilics doivent être inléfieu» à

LIVRK VUI. -* LIS COUABSS USUKLLBS. 449

l'une et à l'autre courbe. Gela étant, il suffit de projeter de manière que ces deux ombilics deviennent en projection les deux foyers de l'une des courbes; ils seront par cela même les deux foyers de Tautre ( 1161 ).

Voici des applications :

Dans tout quadrilatère inscrit à une conique , ^intersection des deux, diagonales est le pâle fie la droite qui Joint les points de concours des côtés opposés; les diagonales de ce qiuidrilatère et celles du quadrilatère dont les côtés sont les tangentes à la conique menées par les sommets du qua^ flrilatère inscrit se coupent au même point et forment un faisceau harmonique. Car, en projetant la conique suivant un cercle, de telle sorte que la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit passe à Tinâni, le théorème devient évident.

Quand deux coniques ont un double contact y toute corde de l'une qui est tangente à r autre est divisée Iiarmoniquement parle point de contact et ftar le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques. Car, en projetant les deux coniques suivant deux cercles concentriques, oo transforme cette proposition dans la suivante, qui est évidente : Toute corde d* un cercle tangente à un cercle concentrique a son milieu au point de contact.

Si deux côtés {l'un triangle inscrit à une conique passent chacun par un point JSxe, le troisième côté enveloppe une conique qui a un double contact avec la première sur la droite qui joint les deux points fixes. Car, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que les deux points fixes passent à l'inQni, on retombe sur ce théorème : .Si deux côtés d'un triangle inscrit dans un cercle sont parallèles à deux droites données, le tnnsième côté enveloppe un cercle concentrique, ce qui est évident, puisque l'angle au sommet du triangle est constant.

On voit immédiatement que le lieu des centres îles cercles qui passent par un point fixe et qui touclient une droite fixe est une parabole dont le p^nt fixe est le foyer. En transformant par projection ce théorème, et remarquant que le point fixe ou foyer et les deux points cycliques forment un triangle circonscrit à la parabole, on obtient la proposition suivante : Étant donnés un triangle et une droite, si l*on conçoit toutes les coniques circonscrites à ce triangle et tangentes à cette droite, le lieu des points de concours des tangentes à deux fies sommets du triangle est une conique inscrite dans ce triangle.

Mous avons démontré (ii6i) que le cercle circonscrit à tout triangle formé par trois tangentes à la parabole passe par le foyer : en remarquant que le foyer et les deux points cycliques forment un second triangle circonscrit à la parabole, et, transformant par projection, on arrive è ce théorème : Si tleux triangles sont circonscrits à une conique, leurs Mis sommets sont situés sur une conique.

R. et OK C. — Tr. dt Géom (11* Paitie). 29

î5o GÉOMfitnrtî to'Afïs l'bspâgk: ♦ ■

il8*j. La solution générdle du problème de la transformatiùn des rd^ lions angulaires est due à M. Laguerre (NotwieUcs Annales^ i653). Elle repose sur le principe suivant :

Le rapport ankarmoniqne

' ^ " Rinwo? . %\Tiuoh

f,\ïn*og ' sinco/i

du faiscçaa formé par les côtés d*un angle uov ssB et par les eùvites qei /oignent son sommet aux points cycliques g et h du plan est égal à

é^^KEn effet, m étaat un point d'un cercle ayant o pour centre et R pour rayoni on «, von menant mp parallèle à ot^ jusqu'à sa reocootre avBOOKt

op -f- pm -h ^op.pm C0s9 = R' et -r = — ^ — y

* ' *^ , hxnvom op

^'oè, «ndéaignant par z ce rapport de sinus,

.v,.vx,^ ., . ,. z' — azcpsÔH- 1 = — /

Or, si m est Tun des points g ou h, op est inBni, et Ton voit que le rapport anharmonique a bien la valeur énoncéOi puisqu'il est égal au quotient de^. i:açines de l'équation

\.•^x•\'.'' .>. . 2J',-^:^»COS0 -hl = 0.

Cela [5oBé,^ott iéop=:^ un angle quelconque, UOVsa projection, G etfl les prôjécti^nd desr points byeHqnes g et A du plan «of ; en désignant parp eH notnm^nt rapport hnharmùnirpte relatif à Pangle UOV le rapport (ij* dans lequel on remplace chaque lettre par la lettre majuscule oorrespoo* dan te, on é, en vertu de la projeotivité du rapport anharmonique,

^'•^-•«ppd'où ô = — 1-^logp.

av~i

Telle est la relatiéil'etarfre'un angle' et /sa tparojecUon^ Donc enfin, à tmf relation quelconque

entre les angles 0,, . . . , 0, d*une figure répond, entre les angles 0*, . . . • /l delà figure projection, la relation

/•(—-^ÏOgp,. — 7=l0gP. — ~!0gn;}=O,

J\'i\l^ï 1^—1 af — I -/

OÙ p^ désigne le rapport anharmonique relatif à Tangle 0^. 1

Remarquons que, dans le cas particulier de 0 =:*^ 9 on ap «^e*^»--'*

donc, à tout angle droit d\inc figure répond, dans la figure pn^ccti^i