LIVRE Tlll» — • LS9 CPUJI^I^S USUELLES

un angle dont les côlés {iwisent hannoniquement les droites qui joignent le sommet aux projections des points cycliques. Voici quelques applications :

Deux coniques confocales se coupent ort/iogonalement (1161 )•

Le lieu des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle (990, 1021).

Le lieu des angles droits circon* srrits à une parabole est ia direc^

(rice (iOiS).

Si deux eoniqiêes font inscrites dans te même quadrilatère, les deux tangentes à l'un des points com^ muns divisent harmoniquement une diagonale quelconque de ce quadrilatère.

Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les eâtés di^isenit harmoniquement une lignt dmftê donnée aày est une conique peusant par les points a et b.

Le lieu des angles circonscrks à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement une tangente ab à cette conique, est la droite qui joint les points de contact des tan»

gnntes issues de a et de b, •

Si autour dUin point fixe on fait tourner deux rayons formant dctt.r faisceaux homographiques dont 1rs rayons doubles soient las (angcntfis à une conique, la corde intercepter ilans la conique enveloppe une autre conique qui a avec la première un double contact sur la polaire du point fixe.

TRAtiS BBLATiFS AUX CON^OUES.

1 186* Construire une conique connaissant :

!• Cinq points a^ b^ c, //, e, — abcd forme un quadrilatère inscrit dans la conique cherchée. Par le point e^ on mènera une droite quelconque efy et Ton cherchera le point / conjugué du point e dans l'involution déterminée sur cette droite par les points où elle rencontre les côtés opposés du quadrilatère. Le point/ appartiendra ila^ conique.

Si l'on veut trouver la tangente bt en b^ on regardera acbt comme un quadrilatère inscrit, dont deux sommets sont infiniment voisitts en b^ et la droite ed comme une transversale de ce quadrilatère» Cette transversale coupe les côtés opposés ba, bc, en a, 7, la courbe en e et d, et les

Si autour du centre d'un cercle comme sommet on fait tourner un angle de grandeur constante, la corde qu 'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique.

côtés ''Op{K)S^ ac, ht^ en^l' et â^. Ces six poihU formant tine învoHiticai, on déterminerar le point ar^ et par suite la tangente bt,

2* Cinq tangentes^ A, B, C, D, E. — Quatre des tangentes données foraient uii quadrilatère circonscrit. Qu'on prenne sur la cinquième un point quelconque a et qu'on le joigne aux quatre sommets du quadrîtatere; le sixième rayon, conjugué à la cinquième tangente dans ViniroIutioD que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du point a.

, Supposons qu^on veuille trouver le point de contact de la (angeute B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes A, C, B, dont deux côtés se confondent en un seul suivant B, et dont (A, C), (A, B), ( B, C* et /sont les quatre sommets. Le sommet / est inconnu, mais les six rayons qu) aboutissent au point de concours I de D et £, savoir : D, E, 1 (A, B t, 1 ('B,C)/I(Â, C), \t, sont en involution, et cinq sont connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième et, par suite, le point cherché /.

' Dans le cas de la parabole, la cinquième tangente est donnée îniplidlement : c'est la droite de l'infini. Les quatre qui sont données forment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera quatfparallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une t^an^- Versale quelconque, sur laquelle on cherchera le point central de Piov* lution qu'elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites menée pai^'cê p6i lit sera une cinquième tangente.

, 3^ QuatJre points et une tan^nu^^ Soient ahed le quadrilatère doooé et A Je point de contact inconnu de la tangente. Soient a, 2', et ^, t\ ied pointa où celte tangente rencontre successivement les côtés opposes du quadriiatère. Ces points déterminent une involulion dont r est un point double. Il sera donc facile de le trouver. On voit que la question a deux solutions.

. ' Daii^ le, cas. de la parabole, la tangente est à Tinfini. Soit S le point de concours des côtés opposés ad et bc du quadrilatère duoné. Qu'on mi^ne S^', Sr/, parallèles respectivement aux deux autres côtés opposé:»; on a quatre rayons Sr', S^, Se, S</, issus du point S, qui, co^ji^giiés deux à deux, déterminent une involution.CUacun des deux rayons double» de Cf^tte iAvolulioa eat parallèle à Taxe d'une parabole qui satisfait à la queç^Uoin^ , . '

él" i^iuàfetan^kmes et unp^mt, ^ On trouve une cinquième tangente en cherobant les rayons doubles de l'involutioii qui est déterminée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qa'on obtient en joignant lo point donné aux som/mets du quadrilatère formé par les qi»lre tan* gentes données. Chacun ties deux rayons doubles iesl une tangente à la conique; on a donc deux solutions distinctes.

Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes; la <{uatrième

LITRE VI:ï. — LTvS «Of AASa. VfjtTELLES. 4i73

est à l'infini. La solution est la môme; deux de» rayons de rinvolutiqn sont parallèles respectivement à deux d98 langenles donnéjB8<< . . i

5"* Trois points et deux tangentes, — Soient », h^ c, les trois points donnés, T et T' les deux tangentes qui se coupent en 0 et quî louchent respectivement la courbe aux deux points d et e qu*il s'agit de déterminer. On peut regarder la corde de contact de comme représentant un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont end et les deux autres en è, La corde bc^ considérée comme une transversale du quadrilatère et de ta courbe, fournit une relation d'involution, en vertu du théorème dç Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés du quadrilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir/, t^ t[. sur les tangentes ^/O, rO, respectivement; s, sur les deux autres côu's opposés qui se confondent en un seul de\ et enfin h^ c, sux la cqurLd. Le point c est donc un point double de Tinvolution déterminée par îqs segments ^r, //'. — Si Ton prend i?^ comme transversale au lieu de br^ôn trouvera de même un point f appartenant à la corde de contact (/^, qu; sera ainsi déterminée par les deux points c et 7. Mais comme chacune des deux relations d'involution fournit deux points doubles s et i', f et 9^, on obtiendra quatre positions distinctes de la corde de^ savoir : «y^ e^^ «'?» «'?', c'est-à-dire quatre solutions du problème proposé.

Dans le cas de la parabole où Ton ne donne qu'une tangente'et^trois poînt8,on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à Tintini, ainsi que te point i'; donc, le point / qw tai «st ooojiigaé dans^f iYhro- Itttion est le pomt central de cette involôUon, dont on connâHI en outre le •ogment^i? et dont il s'agit de troaver les points* donbftes.iChaoïiDe des quatre cordes de contact v^ est un ëiamétre d'une parabole aattalaisatit aux conditions proposées] . ,..1, 1 • ,.r>

6* Trois tangentes et deux points. — Nous allons déterraf!Her'dëtïx nouvelles tangentes à la courbe aux points donnés ^ei b. Sèietilt AB, BC, CD, relies qui sont données. DésJgnons par 0 le point de contact îticonnu d^s deux tangentes cherchées; si Ton regarde l'angle ^Ortcomme iin (jiialdrilatëre cireonscrit OaOb dont les côlés adjacents ^é'^ont confondus deux à deux en un seul Oa oti 0^, on verra que la droite BO est un ra}-on double de l'involution formée par les deux couples de rayons conjugués Ba et B^, BA et BG. Pareillement, CO est un rayon double de l'involution Ca^ Ck, CB, CO. Oone^ le fx>int0, intersection des rayons BO et CO, est détorroinô. Mais^ comroe chacune des involutions comporte deux tels rayons, on obtient quatre positions distincies du .point 0, et, par conséquent, le problèfne admet, comme le précédent, quatre solutions.

6*il s*8git d'une parabole, Tune des trois tangentes données est à Tinfini , BC par exemple. La construQtioQ< reste la môme en principe ; mais ici les ileut faisceaux de rayons en invotution se composent de droites parallèles,

454 GÊOUÉTIIIB DANS l'bSPACV.

puisque leurs rayons respectifs B et G sont à rin&ni. Coupons-les pir ne transversale quelconque. On aura sur cette droite , relativement an pr^ mier faisceau : deux points a, p, intersections des rayons conjugués a%, ^6; un point 6), intersection du rayon AB dont le conjugué CB est à Tinfini, ce qui est cause que u est le point central de Vinvolulion; enfin un point double x, intersection du rayon BX, et qu'il s'agit de déterminer. Relativement au second faisceau, on aura de même deux points ooojsgués d'une involution a', &y un point central a>', et Von déterminera un point double x* ^^ droites xO, ^0, parallèles respectivement aux deti tangentes données AB, DC, se couperont an sommet 0 de Tan^ einxoH " scrit à l'arc ab de la parabole, et l'on aura encore quatre solutions, parce que l'on obtiendra deux positions du point x et deux positions du point .r.

il87. Les solutions précédentes, qui sont extraites d'un exceltont article de M. de Jonquières, publié dans le tome XVI des Nou^tUts Annales {\^ série) , sont fondées sur le théorème de Desargues et la théorème corrélatif.

Les autres théorèmes généraux (proposition fondamentale du n* 1131 théorème de Pascal, théorème de Carnot, etc.) fourniraient de nouvelle» solutions.

Reprenons, par exemple, le premier cas, c'est-à-dire celui où ro!î donne cinq points a, bj r, li, e, et appliquons la proposition fondeuen* taie du n* 4431. On prendra deux des points donnés d eie comme sonmets des deux faisceaux homographiques dont on aura alors trois cooples (da, ea), [db^ eb), {de, ce) de rayons homologues. L'intersection d'une droite dm menée à volonté par d et de son homologue em sera un non* veau point de la conique. — La tangente au point d sera i'homologne du rayon ed considéré comme appartenant au faisceau (tf), et cette construction donnera la tangente en un point quelconque de la conique, car il suffira de considérer ce point comme le sommet de l'un des faisceaia générateurs. — Les points où une droite donnée L rencontre la conique seront les points doubles des deux divisions tracées sur cette droite par les deux faisceaux. — Les directions des asymptotes s'obtiendront eo transportant le faisceau [e] parallèlement à lui -môme au sommet #/, el prenant les rayons doubles du faisceau (d) et du faisceau (e) ainsi transporté; car ces rayons doubles sont les rayons du faisceau [d) dont les homologues dans (c) sont parallèles.— Enfin, une fois les deux points à l'infini o* et ca' ainsi déterminés , on aura les asymptotes elles-mêmes en menant les tangentes en ces deux points, ce qui se fait en considérant la conique comme engendrée par deux faisceaux ayant m et m' pour centres et prenant dans chaque faisceau l'homologue de la droite à l'infini %m\ Voici le détail de ces opérations ; par a, b^ c, on mène des paralièles««.