LIVRE VUK r-r Ui$.;CQyB»ES. USUELLES
h^y CYt ^ A^'i ^?\ ^yS au^ droites d^ trouvées dy>, dw>'i soient «, P« Yi a't P'i y\ îes points ou ces droites rencontrent une.t^ransversale quelconque L; la droite cuw' rencontre L à Tinfini; on déterminera les points I et J' conjugués de i'inûni dans les deux divisions déterminées par les trois couples (a, a'), (p, P')» (t» ï'); les droites menées par I parallèlement à d(»> et par J' parallèlement à dm* seront les asymptotes.
Indiquons maintenant la solution fondée sur le théorème de Pascal. — Poar avoir le point / où une droite quelconque menée par a rencontre la courbe, on considérera Thezagone inscrit dont les sommets seraient /7, by e^ dy tf,/ [fifr. aia). On prendra le point n commua aux côtés opposés ^et c</, le point / commun à ah et de\ la droite ni contiendra le point de concours du côté hc et du côté inconnu €f\ on aura donc ce point de concours m par la rencontre de bc et de //t. Dès lors, les droites tf/'et iMe donneront le point demandé/. — On obtient la tangente en a en considérant ie pentagone abcde comme un hexagone abcdef dont deux sommets voisins a ei f seraient confondus ; le côté af est alors remplacé par la tangente en a, qull s'agit de déterminer. A cet effet, on prendra rintersection / de bafei de de^ l'intersection m de bc et de ea\ la droite miBerai la droite qui joint les points de concours des couples de côtés opposés; elle contiendra donc le point de concours de c4 et de la tangente en a; ce point sera dono k la reneontre n de cd et de mly et an sera la tangente cherchée. Ces construction^ sont, au fond, d'yne grande simplicité.
La tangente en a une fois connue, on peut trouver les éléments de la courbe par la théorie des figures homologiques, comme nous l'avons expliqué au n" 1179, 3"^.
Nous devons faire connaître ici une généralisation remarquable du théorème de Pascal, qui est due à M. Âubert (Nouvelles Annales^ 3* série, tome VUI) et qui donne neuf points en ligne droite.
La proposition de M. Aubert peut s'énoncer ainsi :
Si deux triangles ABC, A'B'C inscrits dans une conique sont liomologiques, et si Von prend un point I sur la conique^ les points de concours a, p, y ^* droites BC et lA', GA et IB', AB et \C sont situés sur une même droite L passant par le centre d'/tomologie D.
En effet, considérons les trois hexagones lA'ABCC, IB'BCAA', ICGABB'; ils ont un sommet commun I et chacun des autres sommets se déduit de eeux de l'hexagone précédent par une permutation drtulaire efifectuée sur les lettres» Les trois droites de Pascal corres-
GÊOMÉIKIK UAKS l'kSPAOS
pondantes
