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sont

œDyi ?Da, yDp.

Chacune d'elles ayant deux points communs avec chacune des ûen\ autres, ces trois droites coïncident et, par suite, les poiols 3, .3, 7. D 9on^ en ligne droite.

Ce théorème a do nombreuses conséquences; noue signalerons seulement son application à la construction d'une coniquo donnée par cio:] points I, A, B, A', B'.

Par le point de concours D do A A' et BB', menons ane d rot le quelconque L et soient a, p, y ^^^ points où L rencontre lA', IB' et AB. L^*> droites «zB et ^A donnent un point C de la conique, et les droites CD r Iy en donnent un autre C.

En conservant le même point I, on peut échanger soit simultanémeri, soit séparément, les lettres A et .V d'une part, B et B' de l'autre^, Ave* chacune de ces nouvelles combinaisons de points, la même dn>jle I. fournit deux nouveaux points de la conique; on obtient donc huit point*^ de la coniquo à l'aide de cette droite L,

1188. On a souvent à déterminer une conique par des conditionautres que celles de passer par des points ou de toucher certaine droites.

On dit qu'une condition csi simple lorsque la recherche d'une contqu • assujettie à remplir celte condition et à passer en outre par quatri* points est un problème déterminé.

Il est évident, d'après cela, que donner un point ou une tangente équivaut ù une condition simple (118G}, et qifil fdtit cinq condition^ simples pour déterminer une conique.

Une tangente et son point de contact \ aient denx conditions ; par suito, il en est de même d'une asymptote; une parallèle ùune asvinptolo ne vaut qu'une condition, puisque cela revient à donner un point situé à l'infini sur cette parallèle.

Un point p du plan et sa polaire P valent deux conditions ; car, si Ton donne en outre trois points a, b^ r, de la conique, on aura trois nouveaux points a\ h\ c\ de la courbe en prenant les conjugués harmoniques d^ /z, h^ Cy par rapport aux segments interceptés sur les droites pa^pù^pct entre le point/) et sa polaire P. — Un point du pian et uti point de sa polaire équivalent à une seule condition.

LIVRB Vin. — LES COURBES USUELLES. 4^7

Lo centre vaut deux conditions, puisque c'est le pôle de la droite de Tinfini. , •

Un foyer vaut aussi deux conditions, puisque les droites qui joignent ce point aux deux points cycliques du plan sont tangentes à la conique. On peut aussi remarquer qu'un foyer /et trois points «, h^ c, déterminent la conique : la directrice coupe en efTet la droite ah sur la bissectrice du supplément de Tangle afb (1158), etc.

Un ojce vaut deux conditions, puisque, si Ton donne en outre trois points de la conique, on a trois nouveaux points de cette courbe en pre^ nant les symétriques des premiers par rapport à Taxe. U résulte de là qu*un sommet équivaut à deux conditions, car, si Ton donne en outre la tangente en ce point, on aura par là même un axe et un point, c*e3t-àdire trois conditions.

Dire qu'une conique est une parabole équivaut à une condition, puisque c'est donner une tangente (la droite do l'infini). — Dire que la conique est un cercle équivaut à deux conditions, puisque c'est donner deux points de la courbe (les deux points cycliques du plan). — Savoir qu'une conique est une hyperbole équilatère équivaut à une condition; cela résulte de ce que deux points A et B et une asymptote L (c'est-à*d ire quatre conditions) déterminent une hyperbole équilatère. En effet, le théorème des sécantes donne le point où la corde ÀB coupe l'autre asymptote qui est dès lors déterminée puisqu'elle est perpendiculaire à la première.

1189. A tout système de quatre conditions simples répondent une infinité de coniques formant un groupe. Soient fx et v les nombres des coniques du groupe qui remplissent, outre les quatre conditions données, celle de passer par un point donné ou de toucher une droite donnée. Les nombres f^ et v ont reçu le nom de caractéristiques du groupe considéré.

Il résulte des solutions données aux n** 1186 et suivants quêtes groupes de coniques passant par quatre points, passant par trois points et touchant une droite, ])as$ant pnr deux points et touchant deux droites, pas« sant par un point et touchant trois droites, touchant quatre droites, ont respectivement pour Ciiractt^ristiques

Les propriétés d'un groupe de coniques dépendent essentiellement des caractéristiques de ce groupe, et l'étude de cette dépendance Gonstitue une belle théorie crééo tout récemment par M. Gbasles et par ses conti-^ nuateurs, de Jonquièros, Zeuthen, etc. Nous ne saurions exposer même les principes do cette théorie sans sortir de notre cadre ; nous nous bor* fierons à offrir au lecteur un exemple très-simple.

Le lieu des pôles d'une droite fixe L, par rapport aux coniques du

458 GÊOMÊTRfB DANS L*BSPAOB.

groupe qui a pour caractéristiques i^ et v^ est une ligne de Pordrt t. ù effet, la droite L ne peut rencontrer le lieu qu'autant qu'elle contieol > t pôle, c'est-à-dire que lorsqu'elle touche Tune des coniques du sysièc? or le nombre des coniques du groupe qui touchent une droite qoelconqu et par suite la droite donnée, est par hypothèse égal à v.

On conclut de là, en supposant la droite L à Tinâni, que le Ueu «^ centres des coniques passant par quatre points donnés est de Tordre a. c'est-à-dire est une conique, et que le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites est de l'ordre i, c'est-à-dire est une iigne droite; nous avons déjà trouvé ces deux théorèmes par une autre vote.

il90. Construire les points communs à deux coniques Z et 2*.

On commencera par chercher les pôles doubles (HTl). Pour cda, « construira une conique auxiliaire G, lieu des points de rencontre des ^'' laires par rapport à I et à 2' des divers points d'une droite L dioL^"* volonté. On construira de même une seconde conique auxiliaire G', débry de la même manière relativement à une seconde droite L' prise vssà ^r* bitrairement. Ces deux coniques G et G' auront évidemment en Gonur : le point tù d'intersection des polaires par rapport à 2 et à ^ du point trencontre des droites L et L' ; elles auront donc trois autres points a^ muns; ces points seront les pôles doubles;?, /?', p". En effet, eoit « ' ' de ces points communs; puisqu'il appartient à la conique G, il 6era<- *i rencontre des polaires d'un certain point n de L et, par suite, inver^ ment, les polaires de m passeront par n\ de môme, puisque m appait > à la conique G', ses polaires passeront par un certain point /f delà drt ' L'; donc les polaires du point m coïncideront l'une et Taatre avec i droite nn'^ ce qui démontre que m est un pôle double.

Cela posé, deux cas peuvent se présenter :

Si les coniques auxiliaires G et G' n'ont que deux points communs r^> ftiet;?, iln'y aura qu'un pôle double réel. On déterminera alors lesdeuxcori^ communes qui passent par ce point; leurs intersections avec l'une ^^ coniques seront les points demandés ; deux d'entre eux seulement s«t^*-' réels (1171). Pouravoirles deux cordes communes, on prendra deuxpototà volonté tt et f^; on cherchera le point commun u' aux deux polaires de ^ et le point commun v' aux deux polaires de p ; les cordes communes demandées diviseront harmoniquement les deux angles upu\ ppv': <" effet, la polaire de u par rapport au système des deux cordes comniBot> passe {iili) par u' ; cette polaire est donc pu^^ et, par suite, pu si /< sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes communes

Si les coniques auxiliaires G et G' ont quatre points communs rîf^ w, p, p\ p\ il y a trois pôles doubles réels p^p'yp" ; par chacun d'eux fostf un couple de cordes communes, et l'un de ces couples au moins est r^'