LIVRE VIII. -^ LBS COUHDBS L^UELLES

on le déterminera comme ci-dessns, et Ton prendra les intersections des droites dti couple avec l'une des coniques ; les quatre points seront tous réels ou tous imaginaires.

On voit que la solution consiste à réduire la question à la recherche analogue pour deux autres coniques qui passent par un point connu. On remplace ainsi un problème du quatrième degré par un problème du troisième; au fond, on ne fait pas autre chose en Géométrie analytique, puisqu'on y ramène la question à la résolution d'une équation du troisième degré connue sous le nom ù* équation en X.

La recherche des tangentas communes s'effectue par des tracés corrélatifs des précédents et qu'il suffit, dès lors, d'indiquer d'une manière rapide.

Autour d*un point pris à volonté, on fait tourner une droite dont on prend les pôles par rapport à Z et à 2'; la droite qui joint ces pôles enveloppe une conique auxiliaire. Un second point, choisi aussi d'une manière arbitraire, donne d'une manière analogue une seconde conique. Ces deux coniques auxiliaires touchent lune et l'autre la droite o passant par les fioles de la ligne qui unit les deux points choisis ; elles ont donc trois autres tangentes communes, dont l'une au moins est réelle ; ce sont les polaires doubles P, P', P*. *

On pourrait d'ailleurs obtenir ces polaires doubles en déterminant d*abord les pôles doubles p^ p\ p"^ comme au problème précédent, puis prenant leurs polaires par rapport à l'une des-eoniques données £ et X'.

Cela posé, il peut se présenter deux cas :

Si une seule P des polaires doubles est réelle, on déterminera les deux ombilics placés sur cette droite, et par ces ombilics on mènera à l'une des coniques données des tangentes, dont deux seulement seront réelles. Pour trouver ces ombilics, on prend deux droites arbitraires U et Y, on cherche la droite U' qui joint les pôles de U et la droite V qui joint les pôles de V; les deux ombilics devront diviser harmoniquement chacun des deux segments interceptés sur P par U et U' et par Y et Y'.

Si les trois polaires doubles P,P',P^, sont réelles, chacune d'elles contiendra un couple d'ombilics; l'un au moins de ces couplessera réel» et on le déterminera comme ci-dessus ; puis, de ces points, on mènera à l'une des coniques données des tangentes qui seront toutes les quatre réelles vu toutes les quatre imaginaires.

i\^\. Mener une normale à une conique C par un point P donné dans son pian (Jtg» 6W).

MT étant une tangente à la conique et OM le diamètre qui aboutit au (Kiintde contact M, abaissons du point P la perpendiculaire sur MT, et prenons le point Q où cette perpendicnlaire rencontre OM. Quand le point

GÉOSrtTKIK DINS L^BSPÀCe.

M décrit la conique, la perpendiculaire qui tourne autour de P el le c'mètre OM qui tourne autour du centre Ode la conique déciivent de \ faisceaux qui sont homographiques, puisque chacun d'eux est homognphique du faisceau formé par la rotation du diamètre conjugué de OV. U lieu du point Q est donc une conique H ('1131) qui passe par les points >< et P, qui touche au point P le rayon homologue de OP, c'est •à'dire .<

Fîg. Co*».

perpendiculaire abaissée de P sur la tangente à la conique C su point < * OP rencontre cette conique, et qui touche au point 0 le rayon komok»: de PO, c'est-à-dire le diamètre qui aboutit au point de contact de la targente perpendiculaire à PO. Enfin, cette conique H est une hyperbole équlatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique C; on \« * en effet que, quand OM coïncide avec l'un des axes, le point Q passe j l'infini sur cet axe. Cela posé, si M^ est le pied d*une normale naenée d4 point P sur In conique G, PM, est perpendiculaire à la tangente au pojr- M, ; ce pied M, appartient donc au lieu H. On aura donc les pieds desnûrmales en cherchant les points communs à la conique proposée C et à l'hyperbole H, qui est bien déterminée, puisqu'on en connaît deux points, k: tangentes en ces points et les directions des asymptotes. Le problème « quatre solutions qui peuvent se réduire à deux. En particulier, quand iV point P est sur Tun des axes, l'hyperbole se décompose en deux droiu> rectangulaires dont Tune est cet axe même. Dans le cas où la coniqu proposée G est une parabole, l'axe de cette parabole est une asymptote <.^< 1 hyperbole équilatère H, qui est ainsi bien déterminée, puisqu'on connAÎ. en outre un de ses points P et la tangente en ce point ; les deu?; courber C et H ont alors, en commun, outre un point à l'inâni, trois points divc; l'un au moins est réel ; d'où il suit que le problème a trois solutions ou une seule. Enfin, quand le point P est sur Taxe de la parabole C, rhy(>er' bole H se rédujt à deux droites dont Tune est cet axe lui- môme et Tauire, la perpendiculaire à cet axe située à une distance du point P égale ao paramètre (1045).

L'emploi de cette hyperbole équilatère pour résoudre le problème de^ normales remonte à Apollonius. En traxisformant la solution pj-écédeoi^^