LIVRE VUI. — LES COURfiBS VISUELLES

{>ar polairos réciproques, la conique donnée étant prise pour directrice, un tomberait sur une nouvelle solution, dans laquelle les pieds des normales seraient les points où la conique C est touchée par les tangentes communes à celte conique et à une parabole aisée à déterminer. Ajoutons i^nfiD qu'en prenant pour ineonnues, non les pieds des normales, mais les l>oint8 où la coniqœ G est rencontrée par les perpendiculaires menées do Tun de ses sommets sur les quatre normales, on trouverait ces points par la rencontre de la conique donnée et d'nn cercle(vo{>JoACHiifSTHAL,/oe/rfini de Crette, t. XLVIII ; et SiiiTH, Annales de Tortolini, a* série, t. III).

Nous devons encore signaler sur ce sujet une proposition remarquable • lue à Joachimsthal.

»SV d'un point on mène des normales- à une ellipse^ trois des points 1/ 'incidence N, P, Q, et le point Mi diamétralement opposé au quatriè'me M sont sur un me*me cercle.

En effet, d'après le théorème de Desargues, l'ellipse, Thyporbole (i' Apollonius et le système des cordes communes MN et PQ déterminent .sur chacun des axes de l'ellipse une involution; et, oomrae dans chacune de ces involutions le point conjugué de l'infini est évidemment \o centre 0 de reilipse, on a, en désignant par À] et B| les points où 1<.*8 aies coupent AIN et par Af et Bi les points où les axes coupent PQ,

OB.OB' = OBi.OB„ OA.OA' = OA,.OA»;

•J'où, par division,

OR, OBî^^ OAj 'OA, ""«*'

(*o qui exprime que le produit des coefficients angulaires des deux cordes MN et PQ est égal ù -^; mais le produit des coefficients angulaires des deux cordes supplémentaires NM et NM| est (M 46, i 1 (7) égal à • Donc les cordes PQ etNMi ont des coefGcieals angulaires

('•rttux et de signes contraires; on d'autres termes, ces cordes sont également inclinées sur les axes de l'ellipse. Par suite (tl73), les points P, o, N cl ]M| sont sur un môme cercle.

I.e lhi*orème et la démonstration subsistent pour l'hyperbole.

QUELQUES PROBLÈMES BRLATIFS A LA PAR.VDOLE ET A l'iIVPERBOLE ÉQUILVTÈRE.

tlOi. Construire une paraùole connaissant deux tan^cntc^ Ap, A y vt la corde de contact 3^ {Jfg- ^oî).

GfiOMÉTRIB DAKS l'eSPACK.

Ce problème se présente souvent en Mathématiques appliquées t notamment en Statique graphique.

La théorie des diamètres fournit un premier tracé par points et L4> gentes : on joint le point A au milieu 0 de la corde ^y ; le miUeo I >> AO est un point de la courbe et la tangente en ce point I est parallr. à Py' ^^ continuera en opérant de môme sur les angles cîreonscr • formés par la nouvelle tangente et les deux tangentes primitives.

Un autre tracé fort simple résulte du théorème suivant : 5/, par ? point quelconque M de la corde de contact py d'un angle ^ky Wrconscrit à une parabole, on mène des parallèles MB, MC o//^ côtés ^" cet angle, la diccgonale BC du quadrilatère ABMC ainsi formé est /« gente à la parabole. En outre, on obtient le point de contact s de irr tangente BC en prenant C a = Oi B,Oi désignant le point où BC renconi' la médiane AO du triangle p A y. En effet, on sait ( 1154) que, pour qu'endroite mobile BC soit tangente à une parabole, il faut et il suffît qu e! > détermine sur deux tangentes fixes, A y et A^, des segments hoi • logues proportionnels, c'est-à-dire que Ton ait

Yé

cp'

Or cette condition est ici remplie, car les deux rapports précédents

respectivement égaux à

yB BM

dont l'égalité résulte do la similiiudo des triangles MB-;, ^CM.

Fig. 6o3.

La première partie de Fônoucé 9e trouve ainsi établie» Pour dénx r.-

trer la seconde, il suffit d'appliquer le théorème que nous venons de rappeler aux deux tangentes Ba, By coupées par la tangente AG et aux deux tangentes G ^ et G a coupées par la tangente AB. On obtient ainsi les deux proportions

yA BC pA CB

AB ~Ga' AG " Ba

qui^ si Ton désigne par Oi, yi et Pi les points où BG rencontre AO et les parallèles à AO menées par y et p, peuvent èlre remplacées par

Y^^BC p,Oi ^ GB^ 0,B Ca* 0,G Ba'

on en conclut, en observant que 71 0» = Oi ?j, la relation

0|B GOi Ca "■ «B ' d*où Ton déduit

OiB G0|-4-0,B __ CB ^ Ga ■" Gcn-aB " GB " * ou

Ga = OiB. c. Q. F. Oi

On peut aisément déterminer les éléments fondamentaux de la parabole, c'est-à-dire le foyer F et la directrice A.

Le tracé que l'on donne habituellement pour déterminer le foyer F consiste à prendre rintorseclion delà droite y F symétrique do yyi P^^ rapport à y^ ^^ ^e la droite ^F symétrique de p^i par rapport à ^A; c'est une conséquence immédiate de l'égale inclinaison de la tangente à la parabole sur le rayon vecteur et la parallèle à l'axe. M. Maurice d*Ocagne a fait observer ( G^»tf c<Vi7, tome IX, page 91) que ce tracé devenait illusoire lorsque l'angle yA^ formée par les tangentes données est droit, et il a proposé la solution suivante qui convient à tous les cas : Élevez en ket ^ des perpendiculaires sur A^, en A et y des perpendiculaire t sur Ay; le foyer F sera la projection du point A sur celle des diagonales du parallélogramme ainsi formé qui ne passe pas par A. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce tracé, attendu qu'il noQS semble préférable, pour la détermination du foyer et de la directrice, de recourir au théorème suivant :

Si un triangle ABG a ses côtés tangents à une parabole, le cercle circonscrit passe par le foyer F et le point de concours 11 des hauteurs est sur la directrice A. En eiïet, la tangente au sommet de la parabole, contenant les projections du foyer F sur les tangentes, est la droite de

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Simson (169, ii"") relativement aa triangle ÂBG et au point F; ce pomî F appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC. La secondpartie de renoncé résulte de ce que la droite de Simson est éqn:distante des points F et H (*).

Si Ton applique successivement ce théorème au cas où la tanpeui' variable BaC se confond avec Tune et l'autre des tangentes fiiedonnées AByi ACp, on voit que :

I^ foyer F est le second point d'intersection de deux cercl^f d^'

(*) Cette propriété de la droite de Simson a été seulement ënonc<^ .. n*" 169. Voici ea démonstration {Jfff. 6o4) :

Remarqaoufi d'abord que «i l'on prolonge la hauteur CHR Jusqu'il s« ri'ncontre G avec le cercle circonscrit au triangle ADC, on a RG sn RH ; car. r«s angles RAG, RAH étant l'un et l'autre égaux à HCD, sont égaui entre eux; l«^ triangles rectangles ARG, ARH sont donc éigaitx et, par suite, RG est égal â RH. Cela posé, soit F un point quelconque du cercle circonscrit, N et L les p/cH

Fig. 6o{.

jections de F sur AB et AC, enfin E et K les pointa où FG rancootre lec^ir AB et la droite de Simson NL. Le quadrilatère AFLN est ioscriptible, puisque des points N et L on voit AF sous un angle droit; on en conclut Fégalité des angles FNK, FAC; mais ce dernier angle a même mesure que FGC, lequel r^t égal à MFK puisque FN et CG sont parallèles. Donc les angles F^K, NFR sont égaux et, par snite, les droites KF et KN sont égales. On déduit de là, paisqiu le triangle FNE est rectangle en T4, que K est le milieu de l'hypothénuse FE et que l'angle KNE est égal à KEN ou encore à HER, m la symétrie de EH H de EG par rapport à AB. D'après cela^ U droite de Simson NKL est panllèl^ à Eli et passe par le milieu K de FB-; elle doit donc paner par le milieu I deFH.