LIVRE VIII. — LES GOURBI» USUELLES
l'un pafse par p et touche en A la droite A^ et dont l'autre passe par y et touche en A la droite A^.
La directrice A est la diagonale ne passant pas par A, du parallé^ logramme formé en menant par A et ^ des perpendiculaires à A^ et par A et f des perpendiculaires à A^. D^ailleurs, dès qu'on a le foyer F, la directrice  s'ensuit, puisqu'elle doit contenir les symétriques de F par rapport atix deux tangentes données.
1193. Construire une hyperbole équilatère dont on donne quatre points,
La solution est fondée sur la proposition suivante (fig, 6o5) :
Quand un triangle ABC est inscrit dans une hyperbole équilatère, le point de concours H des hauteurs est situé sur l'hyperbole et le cercle des neuf points passe par le centre ia de la courbe.
En effet, soit D le second point d'intersection de l'hyperbole et de la hauteur issue du point C ; la première partie de l'énoncé revient à dire que ie point D n'est autre que H. Or, menons AF parallèle à l'une des asymptotes et DE parallèle à l'autre; désignons d'ailleurs par K le point
commun à AF et à CD et par I le point commun à DE et à AI). Le théorème de Pascal, appliqué à l'hexagone ABCDEF dont les derniers sommets sont A Tinâni, montre que IK est parallèle à BC; mais AD est perpendiculaire à TK, puisque I est le point de concours des hauteurs (lu triangle ADK; donc AD est perpendiculaire ù BC, et le point D ne diffère pas du point de concours H des hauteurs du triangle ABC.
Considérons la deuxième partie de l'énoncé {fig. 6oC); soient Au Bi, <:i les milieux des c6lés du triangle ABC; désignons par P et 0 les projections de B et C sur la parallèle menée par A à Tune des asymptotes de l'hyperbole, de sorte que les projetantes BP, CQ sont parallèles à l'autre asymptote; enfin soient A' et C les points où AC coupe
R. et M c. — Tr, de Géom, (II* Partie), 3o
GÉOM^TRIB DANS l'kSPACE,
les asymptotes. Le point Bi sera, d'après la propriété des sécanles .e rhyperbole, à la fois le milieu de AC et celui de A'C; ce sera don" le centre d'homothétie des deux triangles à côtés parallèles ACQ, A'ùtC : donc (uBi passe par Q et, de même, coCt passe par P. Gela posé, <
Fjg. 606,
est aisé de Toir que les angles sous lesquels on voit du point A et do point û> la droite BiCi sont égaux ou supplémentaires (ils sont supplémentaires sur notre 6gure où co et A sont placés du même côté de B| Ct»; donc les angles sous lesquels on voit Bi Ci du point Ai et du point m sont aussi égaux ou supplémentaires et, par suite, le point ta appartient à la circonférence de cercle passant par Ai, Bi, Ci.
Chacune des deux parties du théorème précédent fournit un mode de solution du problème qui consiste à construire une hyperbole passant par quatre points donnés A, B, C, D.
Diaprés la première partie, on construira le point de concours H des hauteurs de Tun quelconque des quatre triangles ayant pour sommets trois des points donnés, et Ton sera ainsi ramené à la construction d*um conique dont on connaît cinq points A, B, G, D, H. Le problème a ooe infinité de solutions, si Tun des quatre points donnés est le point de reih contre des hauteurs du triangle formé par les trois autres.
D'après la seconde partie, on déterminera le point commun aox eerdet
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des neuf points relatifs aax quatre triangles que l'on peut former avec les points donnés. Ce point o) sera le centre de l'hyperbole dont on obtiendra un cinquième point, en prenant le symétrique par rapport au centre de Tun des points donnés. Il y a indétermination dans le cas déjà cité, les quatre cercles des neuf points coïncidant.
Il est d'ailleurs facile de trouver les asymptotes de l'hyperbole; du milieu Bi de AG comme centre, avec un rayon égal à Bi u>, on décrira un cercle qui coupera AC aux points A' et G' où les asymptotes rencontrent ce côté.
