PÔLE ET PLAN POLAIRE

1194. On nomme surfaces du second ordre les surfaces dont toute

section plane est une conique réelle ou imaginaire ; d'où il suit qu'une

droite quelconque a, avec une telle surface, deux points communs

réels ou imaginaires, à moins qu'elle n'appartienne tout entière à la

giirface.

Si, par un point quelconque p de l'espace, on mène une droite quel'

conque L, et si l*on prend sur cette droite le conjugué harmonique p' de p

ftar rapport aux deux points m et ni communs à la droite L et à une

surface du second ordre lyle lieu des points p\ quand L se déplace autour

de p^ est un plan fixe w.

Observons d'abord que, si l'on mène deux plans quelconques par /.;, et si l'on prend les polaires do p par rapport aux deux coniques que ces plans déterminent sur la surface l, ces deux polaires ont un point commun : c'est le conjugué harmonique de p qui est situé sur l'intersection des deux plans. Cela posé, concevons par le point p deux plans fixes a et ^ arbitraires et un plan quelconque 7 contenant la droite L; soient A, B, C les polaires de p par rapport aux coniques que les plans «,^,7, déterminent sur la surface z. Le point p* est situé sur C ; d'ailleurs, d'après robserVf-ilion ci-dessus, la droite G rencontre les droites 6xes A et B qui se rencontrent elles-mômes. Donc le point ^'cst constamment situé dans le plan fixe o des deux droites A et B.

Le plan o est dit le plan polaire du point /?, et le point p est dit le f)6le du plan a, par rapport à la surface l.

Le plan polaire d'un point de la surface 2 est te plan tangent en ce f^oiut, puisque ce plan tangent contient toutes les tangentes en p aux sections faites parce point, c'est-à-dire toutes les polaires de/; par rap-

68 GÉOMÉTRIE DANS L*ESrAC8.

port à 09S sections; inversement, tout plan tangent a pour paie son pmf (le contact,

La courbe de contact de tout cône circonscrit à la surface 1 at laconique suivant laquelle le plan polaire js du sommet p eottpe la surfit; si cette conique est réelle, le point p est dit extérieur à la surface; a eUe est imaginaire, le cône cesse d'exister, et le point p est dit imtrieur, r-^ Par une droite donnée, on ne peut donc mener que deux plans tangents à une surface du second ordre Z ; car les plans tangents qa'oD peut mener à une surface par une droite donnée sont les pims tasgecL* mené^ par. cette droite au cône qui a pour sommet un point qoeicooquc de cette droite, et qui est circonscrit à la surface. — U résulte de là que les surfapes du second ordre sont de la deuxième classe, en entendant par classe d'une surface le nombre des plans tangents qu*on peut mener ï cette surface par une droite.

1193. Le plan polaire de tout point d'un plan passe par le pôle de <r plan, et, réciproquement, le pôle de tout plan passant par tui point e^i sur le plan polaire de ce point. Par siiite, les plans fHflaires de tous Icspouiu d*une droite L' passent par une droite L', et, inversement, les pôles ik tous les plans passant par une droite L' sont sur une droite L. Deui droites L et L', telles que Tune contient les pôles des plans passant par l'antre, sûnt' dites conjuguées, A toute droite. L répond une droite codjuguée U, et une seule; on Tobtient en joignant les pôles de deux pUo5 menés à volonté par L, et en particulier en joignant les points de contact des plans tangents conduite par L.

Le pôle d'une droite L par rapport à la section laite dans la surface psr un plan a contenant la droite L coïncide avec le pôle par rapport à !j surface du plan que déterminent la droite L et le pôle a du plan 2; il appartient donc à la conjuguée L' de L. Donc, si l'on coupe une surftta du second ordre S par une série de pUms eontentuit une même droite L, les pôles de cette droite L par rapport aux diverses sections sont uir une droite L' qui contient encore les pôles de tous ces plans sécants par rapport à la surface et, en particulier, les points de contact des ficus plans tangents conduits par la dreiêe primitif^ L«

Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs plans polaires forment un faisceau dont le rapport anltarmonlque est égal à 'celui dr quatre points.

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un mémt platu leurs conjuguées Jorment un faisceau plan qtd a même rapport mnharmonique que le faisceau primitif.

1196. Deux points sont dits conjugués par rapporta une surface do second ordre, lorsque le plan polaire de 1 un passe par laulre. Pkuieun