I.IVKK VIII. — LBS COURBES USUELLES

couples de points conjugués sur une même droite forment une inpolution, dont les points doubles sont les points communs à la droite et à la surface.

Deux plans sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque le pela de Tun est situé sur Tautre. Plusieurs couples de plant conjugués passant par une même droite forment un faisceau de pians en involution ( c'est-à-dire un faisceau que toute transversale ooupe suivant une suite de points en involution) ; les plans' doubles sont les deux plans tangents menés par la droite; il suit de là que, par une droite ipteiconque, on peut toujours mener deux plans conjugués rectangulaires.

Une droite et un plan sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque la droite passe par le pôle du plan. Quand on plan ci une droite sont conjugués, le plan contient évidemment la conjuguée de la droite.

Tàut point p de Vespacc est le sommet d*une infinité d'angles trièdres doni chaque arête est conjagtiée à la face opposée; car i) su0\t, pour avoir un tel trièdre, de joindre le point p à trois points a, 6, r, choisis dans la plan polaire o de p^ de façon que chaque sommet du triangle ahc soit le pôle du côté opposé par rapport à la conique que le plan ^ détermine sur la surface. Un tel trièdre prend le nom de trièdre, /w/^^i/-^.

PLANS OIAUéTAAUX, DIAMÈTnBS, CBNTRK; SEfCTKKIS PARALLàLBS.

1 107. Dans toute surface du second ordre, le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée est un plan ^ ^*eeit Je plan polaire des points à rinfini communs à toutes ces parallèles. On donne à ce plan le nom do plan diamétral conjugué à la direciion des cordes.

Le pôle du plan à l'Infini est évidemment commun à tous les plans diamétraux; on le nomme centre de la surface.

Toute corde passant par le centre a son milieu en ce point et prend le nom de diamètre.

Un diamètre et vu pian diamétral Uïni dits conjugués lorsque le diamètre passe par le pôle du plan diamétral (1196). A chaque diamètre répond un seul plan diamétral conjugué, et réciproquement.

1198. Le centre est le sommet d'une iiiQnité d'angles trièdres polaires (1196), c'est-à-dire de trièdres dont chaque arête est le diamètre conjugué du plan diamétral déterminé par les deux autres. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués deux à deux, et les trois faces un système de trois plans diamétraux conjugués deux à deux.

1 109» Si i *on cottpe une surface du second ordre Z par une série de plans paralléUiMa.^^9^, ..,t c'est-à-dire par une série de plans ayant unedroitecom-

470 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACK.

mune L à Tinfini, les centres des sections seront les p6les de cette droite L par rapport à ces sections : ils seront donc (i19aj tous sittiés sur ttmr même droite V qui contient aussi les pôles des plans sc^, a,,. . .^ par rafiport à la surface ; cette droite est le diamètre conjugué du plan diamétrai a parallèle aux plans considérés^ puisqu'elle renferme à la fois le centre d« la section faite par ce plan a et le pôle de ce plan. Les deux plans langeots parallèles aux plans considérés auront leurs pôles, c*est-ià-dire leurs pointi^ de contact, sur cette droite L', d*où Ton voit que tout plan tangent à ane surface du second ordre est parallèle au plan diamétral conjugué du dut" mètre qui passe par le point tle contact. Enfin, si Ton mène deux plans conjugués quelconques par le diamètre L\ le premier coupera les plans a,, a,, . . . , suivant des droites A,, A,, . . ., parallèles entre elles; le second coupera les mômes plans suivant des droites A'„ A',, . . ., parallèles entre elles; d'ailleurs les couples (A^ A',], (A,, A',),..., seront des diamètres conjugués des sections C,, G,,..., faites par les plans a,, a,, .... Ainsi, à chaque système de diamètres conjugués dans la conique C, répondra, dans chacune des coniques G,, . . . , un système de diamètres conjugués respectiveEnent parallèles à ceux de C,. Donc les sections C,, C^,..,, faites par des plans parallèles dans une surface du second ordre, sont semblables et sembla^ hlcmcnt placées,

PLANS PRINCIPAUX BT SECTIONS GIRCt^AIRES.

ISOO. Un plan diamétral est dit principal lorsqu'il est perpendicnlaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales; le diamètre parallèle à ces cordes, c'est-à-dire le diamètre conjugué du plan principal, prend le nom d'rtx^.

La recherche des plans principaux et celle des sections circulaires dépendent des mêmes principes. Mais, avant d'aborder ce double problème, nous devons généraliser quelques idées émises en Géométrie plane.

On sait qu'un plan coupe une sphère suivant un cercle dont le rayon r est égal à

R désignant le rayon de la sphère et d la distance du centre au plan sécant. Si d est plus grand que R, le cercle cesse d'exister; mais, pour généraliser et en vertu de considérations que nous avons déjà indiquées plusieurs fois, on dit dans ce cas que la section est un cercle imaginaire dont le rayon a encore pour carré la quantité R' ~ «^, qui est alors négative. 11 est clair que les formules où entre le carré du rayon d'un cerde et les propositions géométriques qui en sont la traduction subsistent dans le cas où le carré du rayon devient négatif; mais, lespointsou les droites que Ton considère dans ces théorèmes n'ayant plus dans le second