LIVRE VIII. — LBS COURBBS USUELLES

les mêmes positions qae dans le premier, il faudrait, si Ton excluait la considération du cercle imaginaire, employer dans les deux cas des énoncés différents, qu'aucun tien apparent ne rattacherait l*un à Vautre, tandis que l*emploi du cercle imaginaire permet de n'avoir qu'un théorème et d'exprimer la propriété dont il s'agit d'une manière plus saisissante et qui fait image.

Voici un exemple très-simple qui fera bien comprendre notre idée : On sait que la polaire P d'un point p par rapport à un cercle de centre o est la droite menée perpendiculairement au diamètre op par le point p' de ce diamètre que détermine la relation

(i) op.op'^r\

et Ton a démontré que les polaires des divers points d'une droite L passent par un même point. Dans cette déûnition de la polaire, aussi bien que dans la démonstration du théorème cité, le cercle n'a aucune part, et l'on ne fait intervenir en somme que les points o et p et la quantité r*. La proposition subsiste donc dans le cas où r' est négatif; seulement, alors, il n'y a en réalité plus de cercle; la droite P, toujours définie par la relation (i), n'est plus, par rapport au point o, du même cêtéquele point/», et le théorème prend la forme suivante : Si, par les divers points p d'une eUwte L, on mène à un point fixe o des rayons po surieaqueU on marque eÊes points pf déterminés par la relation (i), les perpendiculaires éle* vées par ces points p* sur les rayons correspondants passeront par un point fixe. On voit combien cet énoncé est lourd, et combien il est à la fois plus simple et plus clair d'exprimer le même fait en conservant l'énoncé primitif, à la condition de dire que le cercle est alors imaginaire et de donner à la droite P le nom de polaire du point p par rapport à ce cercle imaginaire. Bien que so rapportant à un cercle imaginaire, la propoaition n'en aura pas moins une signification parfaitement précise et portant en définitive sur des choses réelles.

La formule (i) est susceptible d'une interprétation géométrique fort utile.

Supposons r* négatif, et soit r'^ sa valeur absolue. Menons par o une droite perpendiculaire au plan et égale à r* ; j étant l'extrémité de celte perpendiculaire, on aura

co qui prouve que l'angle psp* est droit. On a donc ce théorème :

Si, par le centre o dUm cercle imaginaire, on mène une droite os perpendiculaire au ftlan du cercle et égale à son rayon supposé réel, la flroiie qui joint le point s à un point quelconque p du plan du cercle est perpendiculaire au plan qui passe par le point s et par la polaire P </» point ppar rapport au cercle tmaginoi^e.

47^ UâOHÉTKlfi DAKS l'cSPACE.

1201. Nous avons vu (iiti) que tous les cerdes d*un plan camptul la droite à l'infini de ce plan aux deux mêmes points imaginaires. On €on> dut de là que toutes les sphères coupent le plan à Tinfini suivant os même cercle imaginaire qu'on nomme le eercie imaginaire à l'imfim Soient, en effet, C et C les cercles déterminés par le plan à Tinfini dav deux sphères quelconques 2 et s' ; pour prouver que ces cerdes ootncident, il sufllit de montrer que tout plan n les coupe aux deux mèoBs points Or, le plan iz donne dans les deux sphères deux cercles A et A', qui ooopni la droite de l'infini du plan n aux deux points cycliques de ce plan ; ce& deux points, appartenant au cercle A et au plan de Tinfini, appartienneot au cerde G, et Ton voit de même qu'ils sont sur le cercle C.

Lorsqu*une droite 9 et un point p sont paie et polaire par rapport am cercle imaginaire à l'infini, la droite qui joint un point qaelconqme g dr l'espace au point p est perpendiculaire au plan mené par ce point q et parla droite P. En effet, soient o le centre d'un cercle ioMginairey intersection d'une sphère fixe et d'un plan a, p^ le point où la droite qp perce le plan or, P, la polaire de /?, par rapport au cerde imaginaire, s l'extrémité d'une droite menée par o perpendiculairement au plan a ei égale au rayon du cerde imaginaire supposé réeh La droite sp^ sera ( iîOO) perpendiculaire au plan déterminé par j et P,, et cette perpea* dicularité subsistera lorsque le plan o se déplacera en s'éloignant indéfiniment du centre de la sphère ; mais, à la limite, les droites ^^ eti^, sont parallèles, et il en est de môme des plans déterminés par ladroîlaP, et par chacun des points s eip^. Donc la droite qp est perpendiculaire au plan de la droite P et du point q,

I'20â. Nous pouvons maintenant aborder la recherche des plans prindpaux et des sections circulaires dans les surfaces du second ordre.

Considérons une surface du second ordre s et la conique C réelle ou imaginaire suivant laquelle le plan à Tinfîni coupe cette surface. Le cercle imaginaire à l'infini C rencontre cette conique en quatre points imaginaires conjugués deux à d^ux, ^ et ^, c et d. Les deux lignes C et G' ont donc trois couples de cordes communes

[ab.cd), (flc,^), (ad,bc)^

dont le premier est seul réel, et un triangle autopolalra commtm ppY dont tes trois sommets sont réels (1171 ).

Désignons par I le centre de la surface i. La droite \p est le diaaMre conjugué du plan diamétral Ip'p' (il97); d'ailleurs cette droite et ce plan sont rectangulaires ( 1201 ) ; donc \p est un axe et Ip'p^ est le plan prla^ cipal correspondant à cet axe. On prouverait de même que \p' et \p^, I/7'et \pp' jouissent de la même propriété, d'oit résulte, pour les surfeees du second ordre, Texistenee de trois plans principaux réds.

UVRR Ylll. — US COVRieti CBCBU.KS. 4?^

Désifpnons par m un point quelconque de redpaceBÎtué è dis4ano0 finie,et considérons l'un des six plans déterminés par le point m et .cèapune des cordes communes, le plan mab par exemple. Ce plan détermine dfois la surface s une conique qui rencontre te conique G aux deux pointa a et 6; par suite, cette conique est un cercle, attendu que les pointa a et 6 sont les pointa cycliques du pteo ntah. Donc, par un point quelconque m de Tespaoe passent six plans mtA^ mcd^ maç^ mM^ mad^ mbe^ donnant des seetiODS circulaires, mais dont les deux premiers sont seuls réalSt.Los deux plans d'nn m6me système mab et mc€i^ mue et mbd^ mQ<t et rnbc^ se coupent respectivement suivant les droites mp^ mp\ m/»', q^i sont parallèles aux axes ; ils sont donc respectivement perpendiculaires aux plans principaux Ip'p'i \pf'p% Ipp'-

On donne en particulier le nom de plans cydiques aux trois couples de plans \ab etlc</, lacet \bd^ lad et 16c, qui donnent des sections circulaires et qui passent respectivement par les axes 1/», lp\ Ip"^ On obtient toutes les sections circulaires de la sorCace en coupant cette aarface par des plans parallèles aux six plans cycliques. U y a donc six séno8^e;sec* tiens circulaires; le lieu des centres de chaque série est le diamètre. conjugué du plan cyclique auquel soat parallèles les plans de la siérie .considérée, et Ton donne le nom û'ombiiics aux pointa où cl^açup 4^ iQ<0 diamètres rencontre te surface. ...

Les deux ptens cycliques qui passent par un mémo axe ont povir. plains bissecteurs les deux plans principaux qui contiennent cet axe. Ainsi, les plans cycliques 1^6, led^oul pour plans bissecteurs les plans. principaux \pp\ Ipp' ; cela résulte de ce que les corder ab et cd divisent barmqniquement Tangle p'pp'y de sorte que Tangle dièdre droit (\ob^ \cd) est divisé harmoniquement par les plans \pp\ Ipp'-

Des trois couples de plans cycliques, un seul (la^, \cd) est réel ; il n*y a donc que deux séries réelles de sections circulaires et, par suite, que quatre ombilics réels.

GÔrrBS ou SECOND ORDRX ET CONIQOSS SPflÀRtQUBS.

ii03. Dans le cône, le plan polaire o de tout point p de l'espace contient le sommet s^ et si le point p se déptece sur ps^ le plan polaire cr ne change paa ; aussi oonvient^il de donner à ce plan v le nom de pian polaire de la droiie ps et, à cette droite, le nom de polaire du plan «. Si la drïâie ps tourne autour du sommet s dans un plan, son pltm polaire or tourne autour de la polaire de ce plan ; cela résulte de ce que les traces de ^ et de V sur im plan quelconque sont constamment pèle et polaire par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Tout plan qui ne passe pas par le sommet a ce sommet pour pôle ; le tommet est donc le pôle du plan de l'infini, c'est-à-dire le centre de la

474 GÊOMÊTRIK DANS L'BSPAGI.

surface. Désormais, quand nous parlerons de droites et de par rapport à un cône du second ordre, nous entendrons toujours qo'!! s'agit de plans et de droites passant par lesomntet. Ainsi nous dirons qne: i** une droite et un plan sont conjugués par rapport au oône lor^jel^ passent par le sommet et que la droite est la polaire do plan ; a." éem plans sont conjugués par rapport au cône quand ils passent par le somm * et que chacun d'eux contient la polaire de l'autre; 3* denx dioitas sort conjuguées par rapport au cône quand elles passent par le sommet et <[t? chacune d'elles est située dans le plan polaire de l'autre.

Quand deux plans ou deux droites sont conjuguées, leurs traces suros plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique que ce pin détermine dans le cône.

Quand un cône est circonscrit à une surface du second ordre, ies droites et les plans conjugués jxir rapport au cône sont aussi conjugués parre^ port à la surface; car, d'abord, leurs traces sur le plan de la conique d^ contact sont conjuguées par rapport à cette conique, et, de plue, ce pin est le plan polaire du sommet du cône par rapport à la surface.

Les sections d^un cône du second ordre par des plans parallèles w* semblables (1199), et le lieu des centres est la polaire du plan « iseof par le sommet du cône parallèlement aux plans sécants. Ces section sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, suivant que le plaii< ne contient pas de génératrices, en renferme une seule ou en contiec: deux.

Une droite passant par le sommet d'un cône du second ordre est dit intérieure ou extérieure au cône, suivant que sa trace sur un plan quelconque qui ne passe pas par le sommet est intérieure ou extérieure à la conique que ce plan détermine dans le cône. Un point de l'espace est dit intérieur ou extérieur au cône, suivant que la droite qui unit ce point an sommet est elle-même intérieure ou extérieure.

1204. Le sommet d'un cône du second ordre est le sommet d*une infinité de trièdres polaires (1196), c'est-à-dire de trièdres tels que chaque ar^tee&t la polaire de la face opposée. Les trois arêtes forment un système de troi« diamètres conjugués ; l'un de ces diamètres est intérieur au cône et le^ deux autres sont extérieurs; cela résulte de ce que la trace du trièdrv sur un plan quelconque est un triangle polaire par rapport à la coniqcf section du cône par ce plan, et un tel triangle a toujours un sonunet intérieur et deux sommets extérieurs à la conique.

L'un de ces trièdres polaires est trirectangle ; ses arêtes sont les irrji^ axes du cône; l'un est intérieur et les deux autres sont extérieurs.

Tout plan perpendiculaire à l'un des axes détermine dans le ctne un? conique qui a son centre sur cet axe et ses axes parallèles aux deux autre» axes du cône. Tout plan perpendiculaire à l'axe intérieur du cône dooitf