LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 47S

ine ellipse, et toat plan perpendiculaire à l'un des deox autres axes donne me hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux deux génératrices lu c6ne parallèles au plan sécant. On nomme axe principal du c6nQ axe intérieur ; grand axe celui qui est parallèle au grand axe de felipse suivant laquelle le cône est coupé par un plan normal à Taxe •rinripal ; petit axe celui qui est parallèle au petit axe de la même ellipse ; n ap[)elle plan de la grande section le plan de l'axe principal et do grand \o ; plan de la petite section le plan de Taxe principal et du petit axe ; lan principal le plan du grand et du petit axe. Le plan principal ne ou()e le c6ne suivant aucune arête ; de tous les plans conduits par l'axe principal, le plan delà grande section et le plan de la petite section sont eux qui coupent le cône suivant les deux arêtes qui font entre elles res* teclivement l*angle maximum et Tangle minimum. Les plans tangentsau 'ône menés par le grand axe le touchent suivant lesdeux arêtes contenues lans le plan de la petite section ; les plans tangents conduits par le petit ixe touchent le cône suivant les deux arêtes contenues dans le plan delà ^ninde section ; enfin, par l'axe principal, on ne peut mener aucun plan tangent au cône.

U' cône est de révolution quand la section par un plan perpendiculaire 'à Tdxe intérieur est un cercle.

1^0^. Il résulte do ce qui a été dit au n* 1202, sur les sections circulaires des surfaces du second ordre, que tout cône du second ordre admet <}eux plans cycliques réels passant par l'un des axes et également inclinés sur tes plans principaux qui contiennent cet axe. Tout cône du second ordre, admettant, d'après cela, deux séries de sections circulaires, peut être considéré de deux manières comme un cône à base circulaire. Les propriétés des sections circulaires des cônes du second ordre ont déjà été (Hudiôcs aux n"* 875,. . . , 880. Ajoutons seulement ici que les deux plans cycliques passent, comme on le reconnaît immédiatement, par le grand axe et, par suite, sont perpendiculaires au plan de la petite section.

lâtM). Si par le sommet d'un cône du second ordre on mène des droites ()or|ii>ndiculaires à tous les plans tangents, on obtient un second cône de uièiiie sommet et qui est dit supplémentaire du premier. Le cônesupplénientaire d'un cône du second ordre est aussi du second ordre ; en d'autres termes, tout plan mené par le sommet ne peut le couper que suivantdeux arêtes; car, si un tel plan le coupait suivant trois arêtes, ces arêtes seraient normales à trois plans tangentsau cône proposé, lesquels plans passeraient r^r une même droite perpendiculaire au plan des trois arêtes, ce qui est absurde, puisque par une droite on ne peut mener que deux plans tan- ^•♦nU«* à un cône du second ordre, ^9/ un cône 2' est supplémentaire d*un ^One 1 du second ordre, inversement 2 est supplémentaire de Z'. En effet,

476 GÊOUfiTRIE DANS l'ESPACE,

deux arêtes iDfiniment voisines du cône 2^ sont perpendiculaires é ' plans tangentsau cône 2 infimment voisins ; le plan de ces deux an done perpendiculaire à l'intersection de ces deux plans tangents ; eo ^ . très termes, les plans tangents à 2' sont perpendiculaires aux arêtes dr :

On aperQoit immédiatement que : i^ à une arête de :Let au plan tarr' conduit pur cette arête ^ répondent dans 1' un plan tangent et son c-r. de contact ; %'* à une droite et à son plan polaire par rapport à 1^ rry^ dent un pian et sa polaire par rapport à Jf ; yà deux droites conju^sr de 2, répondent deux plans conjugués de X* \ 4' à deux droites nv^ arbitrairement par le sommet de S, répondent dans i ileux plans Jm^ entre eux un angle supplémentaire de celui des deux droites; 5* aux ^' axes de 2, répondent les trois plans diamétraux conjugués rcctanguly^ de Jf; k Taxe principal de 2, répond le plan principal de s', et les icônes ont même axe principal et même plan principal ; mais le plan «J grande section de l'un est le plan de la petite section de rautre, de s^: ■ que le grand axe de l'un est le petit axe de Tautre.

Il résulte de là que les propriétés des cônes du second degré sont d blés, comme celles des trièdres et des triangles sphériques.

1207. Dans tout cône du second ordre, on nomme fncnles les àr • droites menées par le sommet perpendiculairement aux plans c\c\v\ • du cône supplémentaire ; ces deux droites sont donc situées dans te ( de la petite section du cône supplémentaire, et par conséciuent dat* plan de la grande section du côue considéré.

Tout plan vs perpendiculaire à une focale F coupe le cône suirant . conique qui a pour foyer le pied f de cette droite. Il suffît, pour èi ce théorème, de prouver que tout couple de droites ooi^uguées par port à la conique et passant par/ est rectangulaire. Or, deux d^ conjuguées du cône supplémentaire, comprises dans un plan cjrcliof ce cône, sont rectangulaires, puisqu'elles sont parallèles à deux mètres conjugués de la section circulaire faite par un plan pant> ce plan cyclique; donc deux plans conjuguésdu cône primitif, raen^ ' la focale F qui est perpendiculaire à ce plan cyclique, sont aussi rrc*-' gulaires. Le plan ir coupe donc le cône suivant une conique, et ies c~ plans conjugués suivant deux droites rectangulaires tellee, que le fà^ l'une par rapport à celte conique soit sur l'autre.

Puisque dans deux cônes supplémentaires les droite* foutitg tk « répondent aux plans cycliques de Vautre, à chaque propriété des fo f répondra, par la considération du cône supplémentaireT une profviéfer i)F' plans cycliques, et inversement. Indiquons les plus importaxiles da ^^ propriétés.

iâ08. Nous savons que la polaire d'un plan cyclique est le diamètre, ci^"-