LIVRE VIll. — LES COURBES USUELLES

Tout plan passant par l\ixe donne dans la surface une conique symétrique par rapport à cet axe et dont le second axe disparaît à l'infini ; cette conique est donc une parabole. Toutes ces paraboles ont leur sommet en un même point commun à i'aze et à la surface, qu'on nomme sommet de la surface.

Toute section par un plan xs parallèle à l'axe est une parabole égale à celle que détermine le plan xs' mené par l'axe parallèlement au plan proposé. En effet, d'abord la section par le plan o est une parabole, puisqu'elle est semblable à la section faite par le plan o' ; puis ces deux paraboles sont égales, attendu que Pun des cônes qu'on peut mener par ces deux courbes (iSlO) dégénère en un cylindre dont ces courbes sont deux sections parallèles.

1220. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des hyperboles, puisque ces plans coupent les génératrices G, et L, situées à TinBni en deux points. Étudions spécialement les sections hyperboliques dont les plans sont normaux à Taxe. Désignons par o le sommet, par ox la partie de l'axe située à droite de o et par ox^ la partie de l'axe située à gauche. Le plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet o est tangent à la surface, puisqu'il est conjugué à la direction ox\ il contient donc deux génératrices que nous nommerons og et o/, et c'est à ces deux droites que se réduit ici la section hyperbolique. L'hyperbole obtenue en coupant par tout autre plan normal à l'axe doit donc avoir ses asymptotes parallèles à ogj^X à o/; ces asymptotes sont donc les intersections du plan considéré et des deux plans fixes gox^ lox; par suite, si Ton désigne par ojr et oz la bissectrice de l'angle gol et celle de son supplément, les plans uox, vox^ devront contenir les axes de toutes ces hyperboles, de sorte que ces plans sont les plans principaux; ils coupent la surface suivant deux paraboles ayant môme sommet o, et pour axe l'une ox, l'autre ox'; car, si ces paraboles principales étaient tournées du même côté, par exemple toutes les deux à droite de o, les sections hyperboliques faites par des plans normaux à Taxe et à droite de o auraient quatre sommets réels, ce qui est absurde. Ainsi, en résumé, les hyperboles obtenues en coupant par des plans perpendiculaires à Taxe sont situées : à droite du sommet, dans l'un des angles formés par les plans ^x, lox (et dans son opposé); et, à gauche du sommet, dans le supplément de cet angle (et dans son opposé).

i22i. Tout plan parallèle à Tun des plans principaux coupant la surface suivant une parabole égale à celle que détermine ce plan princi- I^ai, on voit que la surface peut être engendrée par l'une des paraboles principales glissant parallèlement à elle-même de jaçon que son sommet décrive l'autre parabole principale; oe mode de génération est celui qui

GÉOMÈTRIB DANS l'bSPACB.

révèle le plus nettement la forme de la surface. Ajoutons qnVit profeaioa orthogonale sur un plan principal, les génératrices enveloppent la para» bole principale correspondante.

Soient /> tip' les paramètres des paraboles principales BOB*, CGC': cherchons Téquation du paraboloîde, c*est-à-dire la relation entre les

Fig. 610.

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constantes données /? et ^' et les coordonnées variables x =£ 01, x = ^t z ~ IP, d'un point quelconque M de cette surface [fig. 610 ). La section faite par le plan mené par M parallèlement au plan xox étant une parabole ICg égalée la parabole BOB', on a, puisque M appartient à cette paraboIe/C^.

y^%p.C? = %p.Kl

et, puisque le point C appartient à la parabole €0C',

z* = a;;'.KO; on en déduit

c'est-à-dire

--i = a(Kl-KO) = aOI, P P

12^. Le plan gox^ coupant la surface suivant une première trice og^ doit la couper encore suivant une génératrice du système opposé; et cette seconde génératrice doit être à l'infini, sans quoi Taxe or lencontrerait la surface en deux points à distance unie; c'est donc la génératrice L,. Or toute autre' génératrice G du même système que «grest dans un môme plan v avecLi; les deux plans o ei^wr ayant leur ialer-