LIVRE Vni. — LES GOURBBS OSUBLLES. 4^f

section L, à l'infini sont parallèles; donc G est parallèle an plan /^x. Ainsi, toutes les génératrices d*un système sont parallèles au plan goxy et ]*on verrait de même que toutes les génératrices de Cautre système sont parallèles au plan lox. Les deux plans fixes gox^ lox^ prennent le nom de plans directeurs de la surface. Il résulte du n* 42S0 que les plans prin^ ripaux divisent en deux parties égales les angles dièdres formés par les f>lans directeurs.

Toutes les génératrices d'un système étant parallèles à un même plan, ces droites divisent deux génératrices quelconques de Tautre système en parties proportionnelles, et la surface peut être considérée comme e/f/^/idrée par une droite mobile jormant sur deux droites fixes deux divisions homographiqurs semblables. Cette propriété est très-utile dans les applications; on Tutilise aussi pour construire des modèles en fil de la surface.

SURFACES DC SECOND ORDRE NON RÉGLésS.

12Î3. 11 nous reste à étudier les surfaces non réglées du second ordre.

Tout plan tangent a à Tune quelconque de ces surfaces en un point a n'a en commun avec cette surface que le point a; car, s*il en avait un -autre 6, la droite ab serait commune au plan a et au plan polaire ^ de 6; elle serait donc sa propre polaire, et ehacun de ses points étant à luimême son conjugué serait sur la surface. 11 y aurait donc sur la surface une droite ab^ et^ par suite, il y en aurait une infinité.

11 suit de là que, si Ton mène de part et d'autre d'un plan tangent a deux plans parallèles et infiniment voisins, un seul de ces deux plans rencontrera la surface. Il y a donc dans Tespace des plans qui ne rencontrent pas la surface, des plans qui la coupent, et des plans qui n*ont qu*un point commun avec elle; les pôles de ces plans sont pour les premiers intérieurs à la surface, pour les seconds extérieurs^ et pour les derniers situés sur la surface.

On classe les surfaces non réglées du second ordre par la considération du plan tangent à l'infini. Ce plan peut être extérieur à la surface, la toucher ou la couper suivant une conique qui diffère de deux droites. De là, trois surfaces distinctes auxquelles on donne les noms suivants s

n'ayant aucun point à l'in-î ,,. ... . . ^ > FMtpsotae.

».^v^ M« "'^""junçonlc au plan de 1 In-i j, , -^ i/ •

orareturl«aqueliesl g. . l Paraboioide fUtpa^ue,

on ne peut placer i •' ■ • i i*- n • "^ '^ Jcoupce par le plan de 1 infini .

«ucttue droite. I .^^ . « « .• i: ' « i. t "j x j

I sui van t u n o ron ique ord 1- > HyperholM de à dtwp ttappet*

Nous allons déeriro successivement ces trois surfaces.

Surfaoat du aeoondi

GËOHËTRIE DINS L'ESFACt.

1224. L'ellipsoïde (fig. 6c i) n'ayanl aucun point i l'infini n'admet que des sections planes elliptiques. Le centre est intérieur i la Boriau. et, par suiLe, les trais axes rencontrent la surface chacun aa deux pcioLréels; ces trois axes ont généralement des longueurs différentes; conbi' nés deux à deux, ils Torraent les axes des trois ellipses principales. Le sections par des plans parallèles à un plan principal sont des ellipses semblables à l'ellipse principale correspondante, et dont les sommets aor-i situés sur les deux autres ellipses principales : de là un mode de géoêratioQ tiës-expressif de la surlïce.

ng. 6..

Les deux plans cycliques passent évidemment par l'axe moyen ; lenrt traces sur le plan des deux autres axes sont les diamètres communs i Tellipse principale ùtuée dans ce pUn et au cercle concentrique dêcr>i avec un rayon égal à l'axe moyen. Tout plan parallèle à un plan cycliqnt coupe l'ellipsoïde suivant un cercle ; le lieu des centres des sections circulaires est Tormé de deux diamètres de l'ellipse principale, qui a pour axes l'axe maximum et l'axe minimum ; ces diamètres, qui sont respectivement conjuguésaux traces des deux plans cycliques, rencontrait l'eUipit en quatre points réels : ce sont les ombilict.

En désignant par a, b, c les longueurs des troia axes, et prenant respectivement ces axes pour axes des x, des y et des i, on trouve, en ni- ■ODDant comme au n* 13t6, pour l'équation de l'ellipso'i'de,

0 sufQt, dans les Formules du a" 1316. de

« LIVRE Vlll. — LES COURBES USUELLES. 491

i^'^i. Soient oa', ob\ oc\ un système de trois demi-diamètres conjugués, et o£r, ob^ oc^ les trois demi-axes. Conservons le diamètre oc* et substi tuons à oa' et ob' deux autres diamètres oa" et ob* conjugués entre eux dans le plan a*ob\ et dont Tun oa" soit l'intersection de ce plan avec le pian aob\ on aura

oa -h ob = ofl* -f ob' .

Les trois droites oa', ob\ oc\ formeront encore un système de diamètres conjugués, et le plan b'oc' contiendra Taxe oc, puisque oa' est dans le plan principal aob. Conservons maintenant oa'y et remplaçons ob' et oc' par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le plan c'ob'^ dont Fun, 06,, soit rintersection de ce plan avec le plan aob ; alors, oo* et 06^ se trouvant l'un et l'autre dans le plan principal aob^ le conjugué de ob^ ne sera autre que Taxe oc, et Ton aura

—--s —a — --» —1 ob' -f- oc' = 00, -f- oc .

£nfin, la comparaison du système actuel oa', 06^, oc, avec le système oa^ obf oc, donne

ott* -1- 00, = oa -^ 00 ,

et, en ajoutant les trois relations précédentes, on obtient

oa' -h ob' ~\- oc' =s oa -h ob -^ oc ;

re qui donne la généralisation du premier des théorèmes d'Apollonius

La somme des carrés de trois diamètres conjugués quelconques est constante.

Le second théorème d'Apollonius se généralise de même :

Le volume du parallélipipêde construit sur trois diamètres conjugués tfuelconques est constant.

En effet, on a évidemment

vol. (oa*, ob\ oc') = vol. (otf, ob', w'),

puisque ces deux corps ont la même hauteur et des bases équivalentes comme parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués oa' et o^, oo* et ob'^ de la section faite par le plan a'ob'. On a de mémo

vol. ( ofl", ob'f oc' ) = vol. (ofl', ob^ , oc ) = vol. ( oa, ob, oc),

d'où résulte

vol.( oa', 06', oc' ) : vol.(oa,o^, oc).

49' GëoiEtrie dans l'kspace. «

1226. Si deux des axes sont égaux, l'ellipsoïde devient de réroloiicK auloar du troieièine axe. EnSn , si les trois axes sont égiax, l'eUipfioïik K réduit è une sphère.

PABABOLOIDB SLLIPTIOUB.

1S27. Le paraboloïde elliptique (^;. 6ia] est tangent au plan de l'iftfini. Son centre est donc à l'inrmi, ainsi que l'un des plans principaux H les deux axes qu'il contient. Il ne reste à distance finie qu'un seul axe « les deux plans principaux qui passent par cet axe, auquel tous le* dianiètres sont d'ailleurs parallèles.

Fiff. 6n.

Touie sertion passant //ar I'um: est tangente à la droite de l'infini: c'est une panAoU ayant pour axe l'axe même de la surface et pour somtnel le point oit cet aie rencontre le paraboloïde, c'esl-â-dire te mmmei (le cette surface. Toute section par un plan parallèle à Paie est uat /larabole égale à celle que déterminerait un pian parallèle pattant par

Les sections par tes plans non parallèles à l'are sont des elliptet, puisque ces sections n'ont aucun point commun à l'infini. Les ellipeesdoai les pians sont normaux à l'axe ont leurs sommets sur les deux parabole principales qui, par suite, sont sititées l'uneet l'autre d'an même c6tééi> plan tangent au sommet. Enfin, la surface peut être engendrée par l'anlies paraboles principales pissant parallèlement à elle-même de faa* que son lommei décrive l'autre parabole principale.

Tous ces résultais s'aperçoivent aisément après ce qui a été dit (ISI'' cl suiv.) sur le paraboloïde hyperbolique.

En prenant pour axe des i l'axe commun des deux paraboles principales et pour axes des y et des t les tangentes au sommet de c«e pan-

LIVIIR VIII. — LES COUBBE» ISLKLLKS. 4i)'t

toles, puis raisonnant comme au n° 1221, on obtient, pour l'équalion du

[>araboloïde elliptique,

[| suffît de changer dans r<^|U3lion du paraboloïde hyperbolique, p' en — /.

Ajoutons que la surface admet deux séries de secUons circulaires dont les iilans Eont perpendiculaires â )a section principale de moindre paramèlre et également inclinés sur l'autre section principale.

Si le« deux paraboles principales ont même paramètre, le paraboloTde devient de révolution.

]22I4. 1,'hyperboloTde à deux nappes (/)?. 6i3), éUni coupé parle planda 'inGni suivant une conique ordinaire C, a uq centre o placé à distance

ânie %\. extérieur Wa suiTace. Le cène qui a le point a pour sommet et la conique C pour directrice est langent à la surbce tout )e long de celte conique i l'inGni ; on le nomme t^àne aspiiptote, et la surface éUnt intérieure à ce cène se compose de deux parties ou nappes séparées, situées chacune dans l'une des nappes du cône. Les diamètres et plans diamétraui conjugués de la surface sont les mêmes que ceux àfi ttitm ; elle a donc les mêmes aies que ce c6ne; l'aie intérieur au céoe rencontre donc seal la surface qui n'a que deux sommets réels. Tout plan passant par l'axe transverse

494 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPàGB.

coupe la conique C de l'infini en deux pointe et, par suite, la surface saivaut une hyperbole symétrique par rapport à cet axe et ayant pour soiih mets réels les deux sommets réels de la surface ; ce fait met mieux en* coréen évidence la division de la surface en deux nappes.

Les sections par des plans perpendiculaires à Taxe transverse sont des ellipses semblables dont les sommets sont situés sur les deux hyperi>ol& principales dont les plans passent par Taxe. Ces ellipses se réduisent à ui point lorsque le plan sécant passe par Tun ou Tautre sommet; quand le plan sécant est entre les deux sommets, la section devient imaginaire.

Les plans cycliques de la surface sont les mêmes que ceux du oéDf asymptote.

L'équation de la surface se déduit de celle deThyperboloIde à une nappt en changeant b* en — 6'; elle est

Taxe des x étant dirigé suivant Taxe réel.

Cette surface n*a aucune importance au point de vue des applications. Nous avons hâte d'ailleurs de terminer cette esquisse déjà bien longne de la théorie des surfaces du second ordre. Le lecteur qui voudra la iiie, la plume à la main, en restituant les figures une à une, n'éprouvera aucun embarras pour démontrer les points secondaires que noua n*avoiis fait qu'énoncer. Il pourra ensuite, s'il veut pousser plus avant cette étude, consulter avec le plus grand fruit le Supplément sur les propriétés projectipes des figures dans l'espace, de Poncelet ; les Mémoires de H. Cbaslcft sur les cônes, sur les coniques sphériques et sur les surfaces réglées, et enfin V Aperçu historique.