IV. — ÉTUDE DE QUELQUES SURFACES D'ORDRE SUPËRIEUB

SUEPAGBS POLAIRBS aéciPROQUBB.

1229. La méthode des polaires réciproques s'étend aisément aux figures de l'espace ; nous nous bornerons à quelques indications sur œ sujet ('ifoir PoNCBLBT, Traité des Propriétés projectives^ t. D).

Deux surfaces sont dites polaires réciproques par rapport à une surface du second degré v, lorsque chacune d'elles est le lieu des pôleades p}an^ tangents A l'autre, les pôles étant pris relativement k la surface auxiliaire 0-.

Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, U faut prouver que, si une surface ^ est le lieu des pèles des plans tangents d'une anr* face f , réciproquement la surface v sera le lieu des pôles des plana Ish

genls à la surface >J». Or, soient ft, ;*', pi", trois plans tangents à la surface 7; m, m\ m', leurs points de contact, et /f, n\ /i', leurs pôles par rapport à a, {a point commun aux trois plans fi, p', jx', a pour polaire le plan nn'n'\ mais, quand m' et m" tendent vers m, il en est de même du point commun aux plans fi, \i\ fx!, et alors, les points n' et n* tendant vers il. le plan nn'n!' tend vers le plan tangent en /t à la surface ^. Donc le point m de la surface 7 est le pôle du plan tangent en /i à la surface -if,

1230. Quand deux surfaces sont polaires réciproques, la classe de l^ une est égale au degré de P autre. Car, si une droite quelconque A rencontre la surface ^ en k points, à ces A- points répondent k plans polaires passant par la droite B conjuguée (1196 ) de la droite À et tangents à la surface ip; et inversement, aux k plans menés par B tangentiellement à la surface 4^, répondent k points communs à la surface 7 et à la droite A.

Il résulte de là que la surface polaire réciproque d^une surface du se-' eond degré est une surface du second degré, puisqu'une surface du second ordre est de seconde classe (1194).

1231. Le plus souvent, surtout lorsqu'il s*agit de transformer des propriétés métriques, on prend une sphère pour surface auxiliaire. Alors le point rf de la surface >p correspondant au point n de la surface 7 (fig. 617) s'obtient en abaissant du centre ode la sphère une perpendiculaire op sur le plan tangent en /r à la surface f et en portant sur cette perpendiculaire» une longueur on^ telle qu'on ait

op. on* = H,

r étant le rayon de la sphère. D'ailleurs, comme la polarité est réciproque, le plan tangent en /i' à la surface ^ est à son tour perpendiculaire sur on et coupe cette droite en un point /?, tel que

on,op^ — r*.

11 est évidenti d'après cela, que, si Ton considère un ellipsoïde 1 ayant pour axes a, 6, e, sa polaire réciproque par rapport à une sphère concentrique de rayon r est \in autre ellipsoïde dont les axes sont dirigés suivant les même droites que ceux du premier et ont respectivement pour

longueurs — «• -rt — " abc

1232. Nous terminerons ce paragraphe par une remarque qui nous sera bientôt utile et qui se rattache à la théorie des pôles et des polaires.

Sif d*un point quelconque n d'un ellipsoïde, on abaisse un plan nsrper^ fiendicuiaire sur l'un des ares ox de cette surface, et si l'on désigne par

^<y^ GÉOMÉTRIE DANS L^CSPACB.

S ie point où ce plan coupe la perpendiculaire op menée du centre o s f le pian pnt tangent en n^ on a la relation

os,op:=c^,

a éidht la longueur de Paxe dirigé suivant ox {fig, 6i4). En effet, le plan nsr a pour pôle, par rapport à l'elUpaoïde, le poiai !

où le plan tangent en n coupe Taxe ox; mais ce plan a le même pAM par rapport à l'ellipsoïde et par rapport à la sphère concentrique àf rayon a. Donc le plan pnt passant par / doit avoir son pôle par rappor* à la sphère dans le plan nsr, et, comme ce pôle doit être sur op^ il o^esi autre que le point x, ce qui entraine la relation ci-dessus.

* SUBFACKS APSIDALBS.

12^. Deux surfaces y et >|f sont dites apsidales Tune de l'autre par rapport à un point fixe o, lorsque toute sphère ayant o pour centre le^ coupe suivant deux lignes A et B, telles que les cônes a et p ayant o pour sommet commun et les lignes A et B pour directrices soient (iH^* supplémentaires (^, 6i5).

Fig. 6i5.

Deux points m et /i de deux surfaces apsidales sont dits eorresp-ir*dants lorsqu'ils appartiennent à la fois à deux lignes sphériques com^^

pondantes A et B et à deux génératrices correspondantes des deux cônes supplémentaires a et p. Ainsi, m étant un point quelconque de la surface 7, on décrira une sphère du poiif t o comme centre et avec om pour rayon ; A étant Tintersection de la surface 7 et de la sphère, et a étant le cône ayant o pour sommet et A pour directrice, on élèvera par le point o une perpendiculaire on au plan qui touche le cône a suivant la génératrice om ; le point n où cette perpendiculaire rencontre la sphère sera le point de la surface 4^ qui correspond au point m de la surface 7.

THÉORÈME

1231. Les plans tangents ^ et t aux points correspondants m et n de deux surfaces apsidales ^ et "^ sont perpendiculaires au plan mon vtpcr^ pendiculaires entre eux.

En effet, la tangente /nT à la courbe sphérique A [fig. Ci 5] est à angle droit sur le rayon om de la sphère; elle est aussi à angle droit sur la droite on^ puisque on est perpendiculaire au plan omT\ donc cette tangente est perpendiculaire au plan mon^ et, par suite, il en est de même du plan fi qui contient m T.

On voit de même que le plan v est perpendiculaire au plan mon.

H reste à montrer que les plans fA et v sont perpendiculaires entre eux, ou bien, puisqu'ils sont Tun et l'autre perpendiculaires au plan mon^ que leurs traces sur ce dernier plan sont rectangulaires. Or, soit m^{Jîg» 616)

Fig. Gi»>.

Fig. 617,

fi<

u yi

un point voisin de m sur la section de la surface 7 par le plan mon qui est pris ici pour plan de la figure ; la droite nm^ sera à la limite la trace du plan fA. Soit /i, le point de la surface -^ qui répond à m^ \ rabattons le triangle o/i/r, en 0/7/1, sur le plan de la figure, par une rotation autour de on. Le plan /i/i, /i, est à la limite tangent suivant nn^ au cône de révolution que décrit nn^ en tournant autour de no\ il est donc |)erpendiculaire au plan de la figure, et, par suite, nn^ est à la limite la trace du plan V. Pour un motif analogue, !a droite 0/1, peut ôlre considérée comme la projection orthogonale de on^\ donc l'angle //t,o/i, est droit comme

U. et DR C, — Tr. tU Crofu, (If Parlit'). 32

498 G(-()MÉrnfE DANS i/espace.

étant la projection d'un angle droit miorii dont un côté on^^ esi dans )e plan de projection. 11 suit de là que le triangle non^ n*est autre que \t triangle mom^ qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o dans son plan; les droites mm^, nn^^ sont donc à la limite perpendiculaires \jxx à l'autre.

Corollaires.

1^3r>. 1° Les normales en m et n aux surfaces 7 el ^ sont contenue dans le pian mon et sont perpendiculaires entre elles.

2° Les perpendiculaires abaissées du point o sur les plans tangents j et V sont contenues dans le plan wo/i, et leurs longueurs^ c'est-à>dire le^ dislances du point o aux plans \t. et y, sont égales.

3° La section de la surface y par le plan /woT [fg. 6i5) a pour tangente en m l'intersection du plan omT et du plan p; cette intersecti^: est donCi comme chacun de ces deux plans, perpendiculaire au plan m--: et par suite à la droite o/if. Donc la droite om est une normale à ceitr section, et l'on peut donner des surfaces apsidales celte définition, qct^ Mac-Cullag prend pour point de départ dans le tome XVII des Tmn^tions nf the Roynl Irish Académie : La surface apsidale^ d*unt forftrr donnée y par rapport à un point 0 est le lieu des points obtenus en partant, à partir de 0, perpendiculairement à chaque plan passant parrt point y des longueurs égales aux normales abaissées du point o sur ia section faite dans la surface ff par le plan considéré.

THÉORÈME

1 236. Si deux surfaces t et s' sont polaires réciproques par rapport <• une sphère de centre o , leurs apsidales «p et y', relattpes au pot m /» sont polaires réciproques par rapport à la même sphère {Jlg, 617).

En effet, soient n et n' deux poinis homologues de 1 et de c'^ et ■ et /// les points correspondants de 7 et de 7'. Prenons pour plan de j figure le plan non\ et désignons par v, v', /a, p\ les plans tangents «o surfaces 1, s', <?, y', aux points /i, n\ ///, m'. D'après le corollaire (V puisque on* esl perpendiculaire au plan v, la droite om est située daos ' plan de la figure, et il en est de même de 0/1/, puisque le plan V est perpendiculaire à on. D'ailleurs, si Ton abaisse np et 0117 perpendiculaires 4 on' et à om\ ces lignes seront les traces des plans v et fA, et Ton tvn non-seulement on' s om'y mais encore (même corollaire) opssotj, Ikiae

la relation

op. on' = r*,

où r est le rayon de la sphère auxiliaire, équivaut à

oq.om' = /•',

ce qui prouve que les surfeœs f et f ' sont polaires réciproques par rapport à la sphère de ceutre o et de rayon r.