F'E~ED

95â. Dans l'hyperbole équilatère, les cordes focales parallèles à deux diamètres conjugués sont égales.

953. Le rayon du cercle qui touche une hyperbole et ses asymptotes est égal à la portion de la corde focale principale prolongée comprise entre la courbe et ses asymptotes.

954. MM' étant une corde de l'hyperbole et CP le demi -diamètre correspondant, si Ton tire par les points M, P, M', des parallèles Mil, PK, M' H', à l'une des asymptotes jusqu'à la rencontre de l'autre en H, K, U\ on a

ch.ch' = ck\

955. Soient un cercle de diamètre AA' et une corde PQ perpendiculaire à AA' : trouver le lieu des points d'intersection des droites AP et A'Q.

956. Si deux hyperboles équilatères égales sont décrites de manière que les axes de l'une soit les asymptotes de l'autre, elles se coupent à angle droit.

957. Quel est le lieu des points qui sont au tiers des arcs de tons les segments de cercle qu'on peut décrire sur une drqjte donnée?

958. Si deux tangentes partant d'un même point P coupent l'une des

asymptotes de Thyperbole en R et en S, l'autre asymptote en r et en s^ on a

PR.PS=rPr.Pj.

959. MM' étant la double ordonnée d'une ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points de rencontre des droites AM et A'M'?

960. Si la tangente au point M d'une hyperbole équilatère coupe ses asymptotes en L et en L', et si MG est la normale en M, l'angle LGL' est droit.

961. Soit la corde MM' d'une hyperbole rencontrant ses asymptotes en R et en R', et la tangente RN à la courbe; si les parallèles MH, NK, M' H', à l'une des asymptotes, rencontrent l'autre asymptote aux points H, K, H\ on a

MH-hM'H'=2NK.

962. Si par les points M et M' d'une hyperbole on mène des droites parallèles aux asymptotes, on forme un parallélogramme dont MM' est une diagonale : démontrer que l'autre diagonale passe par le centre de la courbe.

963. Quel est le lieu décrit par le milieu d'une droite qui se meut en formant avec deux axes rectangulaires un triangle d'aire constante?

964. Si par le point M d'une hyperbole de centre C on mène des parallèles MD et ME à chaque asymptote, jusqu'à la rencontre de l'autre, et si Ton construit une ellipse ayant CD et CE pour demi-diamètres conjugués, CM coupant l'ellipse en N, les tangentes aux deux courbes en M et en N sont parallèles.

965. On fait passer un cercle par an point quelconque M d'une hyperbole et les extrémités A et A' de son axe transverse : trouver le Heu du point Q où l'ordonnée MF prolongée rencontre ce cercle.

966. On donne une série d'ellipses tangentes à une hyperbole équilatère et ayant leurs axes dirigés suivant ses asymptotes : démontrer quo le produit des axes de ces ellipses est constant.

967. Sur deux diamètres conjugués d'une eHipse comme asymptotes, on construit deux hyperboles conjuguées l'une à Tautre : démontrer que, si l'une de ces hyperboles touche l'ellipse, il en est de même de l'autre, et que les diamètres tirés aux points de contact sont conjugués aussi bien dans l'ellipse que dans l'hyperbole.

968. Trouver l'angle des asymptotes de l'hyperbole obtenue en coupant un cône de révolution par un plan. — Cas où le plan sécant est parallèle h l'axe du cône.

554 GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACB.

969. Deux cônes de révolution qui ont même sommet, mdme génératrice el leurs axes rectangulaires sont coupés par deux plans menés parallèlement à leurs axes d'un môme point de la génératrice commune, suivant des hyperboles conjuguées.

970. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections paraboliques d'un cône de révolution donné ?

971. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections elliptiques do même excentricité dans un cône de révolution donné ?

972. Quel est le lieu des extrémités des petits axes de toutes les sections elliptiques parallèles d'un cône de révolution donné?

973. Dans quel cas un plan peut-il couper un cône de révolution donné

suivant une hyperbole équilatère?

974. Construire une hyperbole, connaissant : i** un foyer ou une directrice, la longueur de Taxe transverse et une asymptote; a* un foyer ou une directrice^ une tangente et une asymptote; Z"* trois points et une asymptote.

975. Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une ellipse ou une hyperbole donnée de position et de grandeur.

§ VII. — Propriétés fondamentales de rhélice.

976. Par deux points d'une surface cylindrique, on peut faire passeur

une infinité d'hélices.

977. Quel est le plus court chemin entre deux points d'une surface cylindrique, mesuré sur cette surface elle-même?

978. Deux hélices tracées sur un cylindre de révolution se coupent orthogonalement; on donne le rayon du cylindre et le pas de Tune des hélices, trouver le pas de l'autre.

979. Des extrémités A et Â' d'un diamètre de la section droite d*uo cylindre de révolution partent deux hélices orthogonales dont le premier point d'intersection est en M: trouver, en fonction du pas A de la pn*mière hélice et du rayon R du cylindre, l'aire mixtiligne AMÀ^ -> Qu ) doit être le pas h pour que l'aire AMA' soit maximum? Le rayon du cylindre étant un décimètre, évaluer à un millimètre carré prè^ cette aire maximum.

980. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révoloUon, une droite glisse sur cette hélice et sur Taxe du cylindre en restant normale à cet axe \ quelle est la section de la surface ainsi engendrée : t* par

an cylindre concenlrique an premier ? 2® par un cylindre de révolution dont une arête est Taxe môme du premier cylindre?

981 . Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur Taxe du cylindre en faisant un angle constant avec cet axe: démontrer que la normale à la courbe tracée par cette droite sur un plan perpendiculaire à Taxe du cylindre, intercepte une longueur constante sur la perpendiculaire élevée par le pied de Taxe dans le plan considéré au rayon vecteur issu du même point.