SUR L'APPLICATION DES DÉTERMINANTS A LA GÉOMÉTRIE
i. Aire du triangle en fonction : i* des coordonnées des sommets; a" des longueurs des côtés.
Soient Ox et Ojr deux axes de coordonnées rectangulaires situés dans le plan du triangle A.AjA,; jr, et j,, jr, et j„ x, et/,, les coordonnées respectives des sommets A,, A,, A,; et r/,,, </„, //,„ les carrés des longueurs des côtés A, A,, A^A,, A^A,. L'aire S du triangle est Teicès
Fig. 624.
{Jîg. G2I] du trapèze AjA^A'^A^sur la somme des trapèzes A, A,A',A'| et AjAjA'jA',. On a donc
aS =
(X, - .rj (r,-h j,) - (x, — x,)(r3-i-r,) - (x,- j',)(j, -hr.)
ou
aS-
ojo
NOTE ï.
On peut mettre ce déterminant sous les deux formes suivantes
I o or, ^,
en multipliant membre à membre, on trouve alors, d'après la règle de mulliplicalion des déterminants,
Multiplions les trois dernières horizontales par — a, puis divisons la première verticale par — a; le déterminant sera multiplié par 4- Cela fait, aux trois dernières horizontales,ajoutons la première successiveoient multipliée par x] -hx\i ^l-^Th^l -^/l, et de même, aux trois dernières verticales, ajoutons la première successivement multipliée par les mêmes facteurs ; la valeur du déterminant ne sera pas altérée par ces dernières transformations, et si Ton se rappelle la formule bien connu»
da=(^i-^,V-h(jr,-jr^)\
on aura finalement
2. Fhlnme de la pyramide triangidaire en fonction ; l' tles coordonnées des sommets; a® des longueurs des arêtes.
Soient : ox, o/, o«, trois axes de coordonnées rectangulaires ; {x^^J'^, j,), (^i»^ai2i)i (^vXiy «i)» K»r4» «4)» ïes coordonnées des sommeU A,;a„ A3, A^ : //,„ </,„ r/,^, rf„, d^^, d^, les carrés des longueurs des six arêtes.
La marche est absolument pareille à celle que nous avons suivie pour le triangle. En projetant les sommets sur le plan xoy, on verra que le volume du tétraèdre est la somme algébrique de troncs de prismes triangulaires dont les bases ou sections droites s'évalueront à i*aide de b for'
