APPLICATION DES DÉTERMINANTS
mule (i)i et Ton obtiendra pour le volume Y du tétraèdre
puis, en opérant sur ce déterminant comme nous l'avons fait sur le déterminant (i), et observant que
d^=(x,-x,Y-i-(Xi-j\y-h(z,^i,)\
on trouvera
^i7 ^ti
•ai
'Si
•JS
En égalant à zéro les déterminants (2) et (4), on obtient évidemment les conditions pour que trois fjoints soient en ligne droite ou pour que quatre points soient dans un même plan. Les formules (a) et (4 ), abstraction faite de la notation des déterminants, ont été données par Eu 1er, dans les Mémoires de Pétersbourg,
3. Relation entre les distances mutuelles : x"" tie quatre points situés sur un même cercle; a' fie cinq points situés sur une même sphère.
Soient (x^j^,), (x,,/,), (x,,^,), (x^,y^)^ les coordonnées rectangulaires des quatre points A„ A„ A„ A, ; et </„, «^,3 , . . . , ^/,3 , . . . , les carrés de leurs distances mutuelles. Ces points étant sur un môme cercle, on a, d'après la Géométrie analytique,
-t-jî
-Ha
^yl
bx^
• bx.
bx.
On a, par suite, en éliminant a, b, r,
ri H- JÎ
•r\ ^jrî
ri -^.rJ
^ o, ou
Xî 4-
jî
— ax, - V,
— aj-. —
rî — aj-, -
— Ob
Or, il suffit de multiplier ces deux derniers déterminants par la rè^Id connue ec d'égaler le résultat à zéro pour avoir la relation cherchée
*ïl
^Ai 'Aï 'A3
'Ai î
Un calcul tout à fait analogue donne
'li
^ii 'Aï 'A3 'A«
pour cinq points situés sur une même sphère.
La relation (5) revient au fond au théorème de Ptolémée (240); la relation (6) a été donnée sous une autre forme par Feuerbach. — îion^ avons suivi la marche indiquée par M. Cayley dans le tome II du Joiwrn.t lie Cambridge.
En développant par rapport aux éléments de la première verticale K* premier des déterminants considérés dans ce numéro, et dési^^nantparU; Torigine des coordonnées, qui est d'ailleurs un point quelconque du plan du quadrilatère A, A,A,Â4, on a, eu égard à la formule (a), la relation
qu'on énonce de la manière suivante : Dans toftt quadrilaière inscriptiùl*^ si on mnlliplie i'aire du triangle forme' par trois des sommets ftftr (e carre de la distance du quatrième sommet à un point quelconque du ^jUm^ la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par une diagi)* nale est égale à la somme des produits relatifs aux deux triangles séparé* par Vautre diagonale. Cette proposition, due à M. Luchterhandt {Jnurtw:^ de C relie ^ t. XXUI), comprend comme cas particuliers les théorêmrs (240, 242) relatifs au produit et au rapport des diagonales du quadrila* tère inscriptible. Pour les en déduire, il suffit de remplacer Taire de chaque triangle par le produit des trois côtés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit et de placer le point 0, , dans le premier cas à l'un des sommets du quadrilatère, dans le second cas au centre du cercle.
En éliminant les parenthèses (A,A^AJ, . . . entre l'équation précédente et les trois analogues que fourniraient trois autres points 0|,03,0« pris
APPLIC.iTION DBS DÉTERMINANTS.
à volonté dans le plan, on obtient une relation
entre les distances respectives de quatre points d'un cercle à quatre points quelconques de son plan. Cette relation comprend comme cas par. ticulier la relation (5) qui, en outre, se trouve ainsi démontrée sans le secours de la règle de multiplication des déterminants (Antomari, Nouv, Jnn,^ 1882).
4. Relation entre les distances mutuelles de cinq jmnts situes d'u/:c manière quelconque dans r espace»
11 suffit d'égaler à zéro le produit des deux déterminants
I ^î-1 vJh-zJ ^,r,z^o
jr]-i-jr]-^z] I —'2.x^ -~ a r, —23, o
pour obtenir la relation demandée, due à Lagrange,
rf,.
rf«
rf«
dn
rf..
rf..
En remplaçant, avant de les multiplier, dans chacun des deux déterminants, l'expression xj h-^ * ■+■ «J, où / a les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, par JCi -h/? -H z! — r?, on obtient la relation
'îj
dans laquelle an désigne la qxiantité r? -+- ri — du, et qui est une généralisation de la formule précédente, puisqu'elle renferme, outre les distances mutuelles d^ des cinq points, cinq nouvelles quantités r,, r„ r^, /•,, r^, arbitraires.
5. Rayons des sphères qui coupent quatre sphères données sous des angles donnés.
Supposons que, des cinq points A^A^^A,, A^.A^, que nous venons dp considérer, les quatre premiers soient ie^ centres de quatre sphères dont les rayons r„ r,, r,, r^, sont donnés; désignons par p le rayon et parA^ le centre d'une sphère qui coupe les quatre premières respectivement sous les angles (?„ <p„ 7,, «p,.
En faisant, dans la relation (8), les substitutions
îh
— 2pr.cosfJ = apr.cos7, (1=1,2,3,4,
puis amenant au premier rang la dernière horizontale et la dernière ver* ticale, préalablement divisées par p, et enfin divisant par a chaque horizontale, sauf la seconde, et multipliant par a la seconde verticale, on obtient pour déterminer p Téquation du second degré
r, C0S<J>, r,COSç, /"aCOSya r^ COSf^
r, cos.p, r,cos<p,
r^costp, I r^cosy^ 1
où r/j désigne la quantité - (rf h- rj — du) pour / = i , 2, 3, 4*
Celte équation ne change pas quand on y change simultanément les signes de r^,r^,r^Jr^. D'après cela, à chaque combinaison de signes pour Tp r„ r^, r^, et à la combinaison opposée, répondent les deui racines de I.i même équation du second degré. En faisant varier les signes de r,, /*,, r^, r^y on trouve les seize solutions du problème.
En procédant d'une manière analogue, on obtiendrait une équation donnant les rayons des cercles coupant trois cercles situés dans un même plan, sous des angles respectivement donnés. Cette éqaation e^t d'ailleurs celle qu'on obtient en supprimant dans le déterminant (9) la dernière horizontale et la dernière verticale; en fusant varier les signo, on aurait les huit solutions du problème groupées deux à deux.
