SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE
La théorie des parallèles n*^ fait aucun progrès depuis Euclide jusqu'au commencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer lepostulatum d'Euclide ou une proposition équivalente étaient restés infructueux, lorsque Lobattcheffsky en 1829 et Bolyai en i83a, changeant résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le projet hardi de supposer que la proposition à démontrer n'était pas vraie et de consti* tuer un nouveau système de géométrie non contradictoire, en poussant jusqu'à ses dernières limites le développement de leur hypothèse. Gauss qui, par ses propres méditations, avait obtenu les mêmes résultats dès 1 79a, sans toutefois avoir rien publié sur ce sujet, assura par son patronage le succès de l'œuvre de Lobattcheffsky qui, écrivait-il à Schumacher, c avait traité la matière de main de maître ». Depuis lors un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont considérablement agrandi le champ de ces spéculations qui, OD ne saurait le méconnaître, ont jeté une vive lumière sur la véritable origine des vérités géométriques.
L'analyse de ces nombreux travaux (>) serait fort longue; nous nous proposons ici uniquement d'en faciliter la lecture en exposant les principes iundamentaux de cette partie de la Science qui, après avoir été appelée successivement Géométrie astrale. Géométrie imafçinaf'rc, Pangéométrie, a reçu déGnitivement le nom de Géométrie non euclidienne.
(') LoiATTCHEFPS&T, Nouveaux principes de Géométrie {Mémoires de V Université de Kasan et Courrier de Kasan^ i8a6, 1829, i836-i838) ; Géométrie ima^ pinaire ( J. de C relie, 1837); Études géométriques sur la théorie des parallèles (Berlin, 1840); Pangéométrie (Kasan, i855). — Bolyai, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (Maros-Vasazhély, i8ja). — Riehamk, Sur les hypothèses de la Géométrie (Académie do GôUinguc, 1867). — Helmholtz, Sur Us faits fondamentaux de la Géométrie (Heidelbert;, 1868). — Battagli:!!, Sur la Géométrie de Lobattcheffsky (Giornale; 'fiapUêt i8G8^. — Bkltrami, interprétation de la Géométrie non euclidienne (N:iples, 1868); Sur les espaces de courbure constante (Milan, 1868). — Klci;i, Sur la Géométrie non euclidienne (Math, Annalen, 1871). — Di Tillt, Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique {Mémoires de l* Académie de Bordeaux, 1879).
Plusieura de ces Mémoires ont ctr* traduits en français par M. Houôl.
B. Il iiK C. — Tr. de Géom, (!!• Partie). ^7
i*" Considérons dans un plan un point p et une droite LL'; soient />o la perpendiculaire abaissée de p sur LL' et EpE' la perpendiculaire éievt^ par/^ sur/îo (Jtg, GaS). On sait (57) que cette perpendiculaire ne rencontre pas LL'. Mais cette droite est-elle, parmi celles qui passent par/?, la seule qui jouisse de cette propriété? Cestceque Ton admettait depuis Euclide. Cependant tout ce qu'on peut affirmer, et c'est là le point de départ de LobattchcfTsky, c'est que, si une droite illimitée tourne autour du point p dans le sons de la flèche, depuis la position fjo jusqu'à la position E'/^E, elle passera nécessairement par une position vpu, telle que toutes les droites contenant le point p et situées dans l'angle upE, (et dans son opposé ) ne coupent pas LL', tandis que toutes les droites situées dans l'angle opu (et dans son opposé) coupent oL
D'après cela, en désignant par v'pu* la symétrique de vpu par rapport à jyo, on voit que toutes les droites menées par le point p dans le plan peuvent être rangées par rapport à LL' en deux catégories suivant qu'elles coupent LL' ou qu'elles ne la rencontrent pas ; les sécantes sont comprises dans les angles upu* et vpv ; les non^sécantes dans les angles upv et vpu'. Les deux lignes de démarcation up et tf'c' sont dites parallèles à LL' relativement au point p. Ainsi, par chaque point /> d'un plan, on peut mener à toute droite LL' de ce pian deux parallèles, l'une pu pour le côté oL de la droite, l'autre vu pour l'autre côté oL'. On désigne par angle de paralléUsmc relatif au point p l'angle opu ou son égal opti*
2*" Ce qui distingue une parallèle vu ou v*u* d'une non-sécante quelconque, c'est que la parallèle devient sécante dès qu'on la dévie en dimi* nuant d'aussi peu qu'on veut son inclinaison opu ou opu* sur la perpendiculaire jyo.
Dans le cas où l'angle de parallélisme est droit, la classe des droites non-sécantes disparaît et les doux parallèles se réduisent à une seule E/>E'.
3** Voici maintenant deux propositions qui sont les complémentâ tndis* pensables de la déflnition des parallèles.
GÉOMÉTRIE NON BCCIJDIKNXE,
Une droite conserve le caractère du parallélisme en tous ses points, — En d'autres termes, si H'H est parallèle à D'D relativement au point A, elle est encore parallèle à D'D relativement à tout autre Ai ou Ai de ses points [fig. 6.26).
En effet, supposons d'abord un point Ai situé sur la partie AH de H'H qui fait avec la perpendiculaire AC un angle CAH égal à l'angle de parallélisme. Abaissons Ai Ci perpendiculaire sur DD', menons Ai F dans Tintérieur de l'angle Ci Ai H, et prenons sur cette droite un point F aussi voisin qu'on pourra de Ai; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et Ton aura un triangle ACG dont le contour étant rencontré
Fig. 6a6.
Ji'
une première fois en F par la droite Ai F devra être rencontré une deuxième fois par la môme droite; or Ai F, d'après sa construction, ne peut couper le côté AC, elle ne peut pas non plus avoir un second point commun avec le côté AG; donc elle coupe le côté CG, et, par suite, Ai H est parallèle à D'D relativement au point Ai, puisque toute droite Ai F, située dans l'angle CiAjH, rencontre D'D, si petit que soit Tangle HA, F.
Considérons, en second lieu, un point At situé sur AH', et soit As Ci la perpendiculaire abaissée de A| sur D'D ; prenons sur AC un point F' aussi voisin de A qu'on voudra, et menons AF faisant avec AH un angle HAF égal à H Ai F'; la droite AF ira couper CD on un certain point G, et la droite Ai F' coupant une première fois, en F', le contour du triangle ACG, devra couper ce contour une seconde fois. Or elle ne peut couper une seconde fois le côté AC ; d'autre part, puisque les angles correspondants HAF, H Al F' sont égaux, A|F' ne peut rencontrer AF (^); donc Al F' coupe le côté CD; etc.
(*) Nouf admettont ici que, si deux droiioi AB, CD {fg, 4^)1 forment avec une troisième FB des angles correspondants KGB, FHD,égaux, ces deux droites ne peuvent se rencontrer. La démonstration de ce théorème, donnée au n* 64, dépend du poitulatum d'Eudide ; malt on peut démontrer le fait indépendamment de tout postulatum. En effet, on peut, par une rotation autour du milieu O de GH, amener lu figure BGHD sur la figure CHGA, de façon que GB
r,8o KOTK 11.
Le parallélisme de {Icux droites est réciproque. — En d*autres termes, si AB est parallèle à CD [fig, 627), CD est parallèle à AB.
En effet, soit AC une perpendiculaire sur CD; menons dans Tangle ACD une droite CE faisant avec CD un angle DCE aussi petit qu'on voudra; enfin abaissons AF perpendiculaire sur CE; AF sera moindre que AC ; prenons sur AC une longueur AG = AF et faisons tourner la figure BAFE autour de A , de façon que AF vienne sur AG ; soient GH et AK les positions que prennent FE et AB ; AK coupera CD quelque part en K, et Ton aura un triangle ACK dont le contour étant rencontré une première fois, en G, par GH. devra être rencontré une deuxième fois par cette môme droite ; mais GH étant comme CD perpendiculaire à AC ne peut rencontrer CD ; donc GH coupe AK en un certain point L Donc, en ramenant le triangle LAG en sa position primitive, c'est-à-dire en le faisant tourner autour de A de façon que AG vienne sur AF, AK sur AB et GH sur
FE, on voit que CF doit couper AB, quelque petit que soit Tangle DCE; donc (2'') CD est parallèle à AB.
1° Dans tout triangle rectiligne ABCjZ/z somme des angles ne peut sur^ passer deux angles droits.
En effet, soit A le plus petit angle du triangle ; en prolongeant la médiane AI d'une quantité lE égale à elle-même et joignant EC, on forme un triangle ACE dans lequel (on le voit sans peine) la sonmie des angles est la môme que dans le triangle primitif et la somme des deux plus petits angles est égale à A. Le plus petit angle du nouveau triangle est donc au plus égal à ^ A. En opérant de môme sur ce second triangle, puis sur le suivant, etc. , on obtient une suite de triangles, dont la sonune des angles reste la môme et dont te plus petit angle est successivement
moindre que — ? -r> ^j • • • et, par suite, peut devenir aussi petit qu^on
recoQTre HC et que DH recouvre GA; si donc GB et HD bo rencontrai^nl, HC et GA se rencontreraient aussi, et les deux droites AB, CD auraient deux points communs sans coïncider.
GÊOMÉTRIK NON EUCLIDIENNK.
veut. Or, si la somme des angles du triangle primitif surpassait deux droits d*une certaine quantité a, en opérant sur ce triangle, comme nous venons de le dire, on obtiendrait, après un nombre suffisant d'opérations, un triangle ayant son plus petit angle inférieur à a ; le triangle suivant aurait à la fois la somme de ses trois angles égale à aR + a, R désignant un angle droit, et la somme des deux plus petits angles moindre que a; le troisième angle de ce triangle surpasserait donc a R, ce qui est absurde.
'A*" Si dans un triangle rectiligne ABC la somme des angles est égale èi deux angles droits, il en est de même pour tout autre triangle (J!g, 6a8).
En effet, deux au moins des angles du triangle ÂBC sont alors aigus; soient, par exemple, A et G, ces deux angles; la perpendiculaire BO abaissée du sommet B sur AC partage le triangle ABC en deux triangles rectangles ABO, GBO dans chacun desquels la sonrnie des angles est égaie à 2R, sans quoi la somme totale des angles de ces deux triangles serait
Fig. 6a8.
(i**) inférieure à 4R et, par suite, en retranchant les deux angles en O, qui sont droits, la somme des angles du triangle proposé ABC serait inférieure à aR. Il suit de là que, si l'on construit sur AB un triangle BAI, égal à ABO, on aura un quadrilatère AOBI, dont les côtés opposés sont égaux deux à deux et dont les angles sont droits. En superposant 7 quadrilatères égaux à celui-là et juxtaposant p figures égales à la figure AOQS, ainsi obtenue, on obtient un quadrilatère POQR, dont tous les angles sont droits et dont les cétés opposés, égaux deux à deux, peuvent devenir aussi grands qu'on veut, en prenant les nombres p et y assez grands. Ce quadrilatère sera partagé par la diagonale PQ en deux triangles rectangles égaux et l'on verra, comme ci-dessus, que la somme des angles de chacun de ces triangles est égale à aR. Donc on peut construire un triangle rectangle POQ, dans lequel la somme des angles est égale à aR et assez grand pour contenir dans son intérieur tout triangle rectangle donné DOE, lorsqu'on aura fait coïncider les angles droits de ces triangles. Or la droite QD décompose POQ en deux triangles QDP, QDO, dans chacun desquels la somme des angles est égale à aR, sans quoi la somme des angles du triangle total POQ serait moindre que a R ; de même, la droite DE parU^'o QIKJ en deux triangles DEO, DEQ, dans chacun desquels la
Ô8^ f<OTE II.
somme des angles est égale à 2R, sans quoi la somme des angles du triangle total QDO serait inférieure à 2R. 11 est .donc démontré que, par suite de l'hypothèse, la somme des angles serait égale à ail dans un triangle rectangle quelconque DOE ; il en serait de même, par suite, pour tout triangle rectiligne, puisqu'un tel triangle peut toujours ôtre décomposé en deux triangles rectangles.
3° Par un point donné A, extérieur à une droite BC, on peut toujours mener une droite faisant avec la première un angle aussi petit qu'on veut (fis- Gag).
En elTet, soit AB perpendiculaire sur BC, D un point pris à volonté sur BG, et DE une longueur égale à AD et portée sur BC à la suite de BD. La somme des angles du triangle ADE ne pouvant surpasser aR, oq a, puisque ce triangle est isocèle,
2 AEB -t- ( 2 R -~ ADB ) < 2 R, d'où AEB < J ADB.
Ainsi, étant donnée une droite AD, coupant BC sous un certain angle, on peut toujours en trouver une autre AE, faisant avec BC un angle au plus égal à la moitié du précédent; en opérant sur cette nouvelle droite comme sur la première et continuant ainsi, on parviendra à une droite faisant avec BC un angle aussi petit qu'on voudra.
4" Si deux perpendiculaires AH, BC à une même droite AB sont /wrallèleSj la somme des angles est égale à tleux angles droits dans tout triangle recli ligne (fig* 629).
Fig. 629.
En effet, menons dans Tangle BAH une droite AE, faisant avec AH un angle HAE aussi petit qu'on voudra-, cette droite AE coupera BC, et Ton peut supposer, d'après le numéro précédent, que l'angle AEB, sous lequel AE coupe BC, soit aussi, petit qu'on veut. Cela posé, D étant pris à volonté entre B et E, menons AD et désignons respectivement par 2R — a, 2R — - ^ les sommes des angles dans les triangles ABD, ADE. U somme des angles du triangle ABE sera 2R — a ~ j3; on aura donc
îR :e — f^ = R -,- AEB -+. (R - HAE), d'où
a-+.fi = HAE — AEB;
mais, chacune des parties du second membre pouvant devenir moindre
GÉOUÉTRIB NUN EUCLIDIEKNB.
que touto quantité donnée, on a a -4- 6 = o, et, par suite, a = o, ^ = o, puisc{ue a et p ne peuvent être négatifs. c. q. f. d.
5*" Il résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles :
Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits ; alors Tangle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.
Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et Tangle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la dislance du point à la droite.
La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à au> cune contradiction; elle est la base de la Géométrie non euclidienne que Lobattcheffsky a établie, jusqu'au développement complet des équations entre les côtés et les angles d'un triangle, soit recliligne, soit sphériquo. compose l'angle G et le côté c, on aura, en vertu des formules (i5), marche indiquée par M. fiattaglini dans le Mémoire cité plus haut. Cela nous permettra d'ailleurs de retrouver d'abord par une autre voie la conception fondamentale de Lobattscheffsky relativement aux parallèles.
lU.
1** Pour ne pas laisser supposer de pétition de principe, il convient de montrer d'abord qu'on peut établir la théorie des fonctions circulaires indépendamment de toute considération géométrique. Nous le ferons très brièvement en renvoyant pour les détails aux Traités d'Analyse.
Or définit les fonctions circulaires d'une variable z, réelle ou imagi* naire, par les relations
sm» — 7
tanaz —
stnz
d'où résultent, en vertu de l'équation
qui sert de définition à la fonction exponentielle e<, la formule
r'= = cos: ^ / <*nc,
584 ^OTB il.
et, par suite, les expressions
(3) / sin3 = ^.(^'-^-^''),
I tangz = -T-. •
On définit en outre le nombre n, indépendamment de toute interprétation géométrique, comme étant la pLas petite racine positive de l'équation ^'- = — I ; on a donc
d*où l*on voit, à Taide de la formule (2), que les racines des équations C0S5 = o et sinz = 0 sont, pour la première, les multiples impairs, et pour la deuxième, les multiples pairs, d'ailleurs positifs ou négatifs, de
TT
- • On conclut de là les expressions
\ 7r«/\ 47r^'\ ijjt^J
dont la dernière donne, pour z = - ,
TU 2.2.4 •4*^*6' • - j« » o . / t /?
"■ ~ — q r> 1 g ^ » dOU 71 = 3,1415926....
Dès lors, les relations (3) donnent immédiatement les expressions con* nues du sinus, du cosinus et de la tangente d'une somme x+^, les relations fondamentales
sin* z -4- cos* z = 1 , C08z = sin( z), cotz = tang ( zj,
et d'une manière générale toutes les formules de la théorie des fonctions circulaires.
De la relation e** = — i , on déduit <r''* = t et, par suile,e'^--»-»* = c'-. La fonction exponentielle e^^ admet donc la période air, et il résulte alors des formules (3) que sinz et cosz admettent cette môme période et que tangz admet la période ic.
La fonction u = e* est une fonction uniforme de z, en d'autres termeSi à chaque valeur de z répond une valeur unique de n. Mais la réciproque n'est pas vraie ; d'après la théorie des logarithmes, à une valeur réelle ou
GÉOMÉTRIE NON BUCLIDIEXKB. 585
imaginaire de u, répondent pour z une inûnité de valeurs données par la formule
z =logp-^(
a // TT \ l\
p et <u désignant le module et l'argument de m, et la caractéristique iog\e logarithme népérien arithmétique. Toutefois, si l'on convient (ce que noas ferons toujours ici) de se borner à celle de ces valeurs que Cauchy a appelée valeur principale et qui n'est autre que celle qui résulte de la formule précédente dans l'hypothèse où l'on prend /i = o et u compris entre — ic et ir, on obtient ainsi une fonction bien déterminée
z = logp •+■ w/,
c'est-à-dire telle que, à chaque valeur de i/, ne répond qu'une valeur de 2. Enfin, pour rendre les formules plus claires et plus mnémoniques, nous introduirons les fonctions C(z), S(z), T(z), qu'on nomme /o/ictions hyperboliques relatii^s à la base A et qui sont définies par les relations
