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d'où l'on déduit immédiatement les suivantes :

S(x -f-/) = S(x) ccr) 4- s(/) C(x).

C(.r -+- r) = C(x) CO) -H S( z) SCj),

Les fonctions hyperboliques n'ont qu'une période imagmaire.

a* Cela posé, soient (Jig. GiS ), dans un plan, une droite L, un point p extérieur à cette droite, et o le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite; m désignant un point quelconque de la droite L, et z étant la mesure du segment om par rapport à une unité de longueur arbitraire, à chaque position de m répondra une valeur unique T(z)\ et réciproquement à chaque valeur de T(2) répondra une position unique do //', si l'on convient, comme nous l'avons dit, de ne considérer que la valeur principale des logarithmes.

Imaginons maintenant une droite pm toarnanl autour du point //, et désignons par 0 la mesure de Fangle opm^ en prenant pour unité aagu-

- I partie d'un angle droit. A chaque position de la droite /c?///

répondra une valeur unique de tangO; et» inversement, à chaque valeur de tangd répondra une position unique de la droite, car, lorsque la droite reprend la môme position après avoir tourné de deux angles droits, 9 a augmenté de la valeur numérique de deux angles droits, c'est-à-dire de n d'après l'unité angulaire adoptée, et par suite tangG reprend la même valeur. .

Or, dans chacune de ses positions^ la droite y?/», tournant autour de p, coupe la droite L en un point unique m (réel ou imaginaire). Donc les fonctions T(z) et tangO sont telles qu'à chaque valeur de Tune répond une valeur unique et bien déterminée de Tautre, ce qui, d'après la théorie des fonctions, exige qu'il existe entre elles une relation de la forme

AT(2) tangO -+- BT(5} -+- C langO -f D = o.

On voit immédiatement que D est nul, puisque, lorsque le point m est à l'origine o, z et 0 et, par suite, T(z) et tangO s'annulent simultanément. D'autre part, soient r un point pris à volonté sur L, zq son abscisse or, et Oo l'angle opr\ en appliquant successivement la formule précédente, au cas où le point m est d'abord en r, puis au point r' symétrique de r par rapport à l'origine, on a

AT(zo)langôo-+-BT(2o) ^GtangOo ^ o, AT(zo) tangOo — BT(zo) — C tangôo -- «;

d'où l'on conclut, par addition et soustraction,

A = o et — - = -—- - ,

B tangOo

de sorte que la relation entre T(z) et tangO prend la forme

T(3) T(zo)

; z, = . "n"" ~ consl.,

tang9 tangôo '

ou bien

(6) T(z^ = îi54,

^ ' ^ langA

en posant

(7) UngA=^.

La signification géométrique de A est remarquable , il résulte des for* mules (5) queT(z) est égal à -»- i pour z = -+-« età — i pour s = — ».