GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE
Donc A et — A sont les valeurs de 0 pour 3 = H-ao ets^^ — oo, d'où l'on conclut que : par un point p extérieur à une droite L, on peut mener deux droites pu et pu' rencontrant L à V infini; ces deux droites forment avec la perpendiculaire/^, de part et d'autre, un angle A donné par la formule (7). En général, si Ton considère une droite quelconque/;//} passant par/> et définie par l'angle opm = 9, on aura l'abscisse z du point m où elle coupe L en résolvant, par rapport à z, l'équation (6), c'est-à-dire l'équation
tangO tang A
qui donne, pour 0 < A, la valeur réelle
** -2 ^ tang A— tangO et, pour 0 > A, la valeur imaginaire
z = * lOq 1?"^®
tangA
tangO — lanyA jl
On retombe ainsi sur la conception fondamentale de LobattchefTsiky : les droites passant par p se divisent en deux classes, les sécantes (situées dans l'angle upu') et les non^sëcantes (extérieures à cet angle), séparées les unes des autres par deux parallèles pu et pu',
A est V angle de parallélisme relatif au point/?; la formule (7) montre qu'il dépend de la distance S = po. Nous poserons
tungA et la formule fondamentale (6) deviendra
T(z) -^v(^)tangO.
La même formule (7) montre d'ailleurs que A devient droit, quel que soit ^, lorsque T (so ) =0, c'est-à-dire en vertu de la dernière formule (5) lorsque ^ = 00 ; alors les non-sécantes disparaissent et la parallèle est unique; c'est le cas delà Géométrie euclidienne; la formule fondamentale (6) doit alors être remplacée par
s ■ r\- tangO,
attendu que le rapport ,:.-—< a pour limilo — lorsque le paramètre Arde^ vient infini.
i"* Considérons d'abord un triangle ABC, rectangle en C; nous désignerons comme à Tordinaire ses angles par A, B, C, et les côtés opposés respectivement par a, b^ c
On aura, en vertu de la formule (8),
(9) T(û) = f(^)tangA, T(^) = y(«)tangB;
d'où
sinA =
(1 )/ ^Tl/i)*-f-<p(A)« |/S(«)«-+-7(/5.)«-+-S(/i)»^(^)«
sm B = -- = ^ — •
v/T(^)«H-f(a)* v/S(^)» -+- f (fl)* -H S(^)*f («)«
Mais, quel que soit C, sinA = o entraîne âr = o, sinB = o entraîne 6 = o, et sin A = I entraîne ^ = c, sinB = i entraîne 6 = c; sinA et sinB doivent donc être de la forme
8mA=-777 — » smB = ^7T- — ,
et comme r, et par suite /(c), doit être une fonction symétrique den et de b^ il faut, pour satisfaire à ces conditions, prendre
(11) ^{a) = T(a)=f(a), ^(b) = T(b) r^f(b), ou bien
(12) . :f(a) = S(a)=.f(al ^(b) =S(b)=f{b).
Les relations (ii) répondent à la Géométrie euclidienne, — En effet, de ces équations combinées avec (9) et (lo), on déduit d'abord
SinA = cosB = ;=rr-^j
^ ' ^ smB =cosA= =r7— f»
Puis, si l'on désigne par x et ^ les segments, respectivement adjacents à A et B, que la perpendiculaire abaissée du sommet C de l'angle droit dé* termine sur le côté opposé c, on aura, en vertu de ces relations (f3),
T(»)=T(6)co8A = îi^*, T(P) = T(«)co8B=ï^', T(c) = T(a-H?) = T(a) + T(?)
GÉ03IÊTRIE :;JN EUCLIDIENNE. 5Si)
Cette dernière équation entraîne OU, en vertu de (5),
T(.r) et, par suite, ^=00. D'ailleurs, pour /• = 00 , le rapport =7^-^ se rédui-
sant à -Y les formules (i3) deviennent
(i4) sinA=cosB = -î sinB = cosA = -, c« = a* -+- 6*.
On reconnaît les formules de la Trigonométrie plane ordinaire.
Z^es relations (la) répondent à la Géométrie non euclidienne,— (joiahi" nées avec (9) et (10), elles donnent
^»°^ = S(7]' ^^°^=St7)' ^^^^=T(F)' ""*^=T(7)'
p, . cosA p,., cosB . T(r/) ^ T(A) C(a = — -, Co) = -r--r, tangB«=-r7T-^, tangB=:r~-i-
Remarquons que, d'après (la), on a
et que, par suite, les fonctions circulaires de l'angle de parallélisme à ont pour expression
(16) a** Considérons maintenant un triangle rectiligne quelconque ABC,
^"^8^=8(7)' '^°^=cî?7' «>sA=T((r).
Fig. 63o.
et supposons qu'on parcoure son contour dans le sens ABC : soient alors
SgO NOTE II.
a, b, c les mesures des côtés, et A, B, C les angles extérieurs, comme l'indique \^fig. 63o. y étant la perpendiculaire abaissée de C sur AB, et (Cal Cp), (r^, Cp) les parties dans lesquelles cette perpendiculaire décompose l'angle C et le coté c, on aura, en vertu des formules (i5),
sinAS(é>) = sinBS(/i) = S(7),
^^"g^'=^tangÀc(^)^ ^^"g^^ = -tangBC(./
io««/r^r\ i««.,r tangAC(^) -h tangBC(^)
^"g<^'^^^> = -^""g^=i-tangAtangBCMC(^)-
-tang(c.^r,) =T(c) = ^^^l^Ty^^^^ d'où Ton tire les relations
sinA sinB '
i. n. r. tangA tangB tanirC tangA tangB tangC = -^^ + ^ "^ CHcHtl'
cos A cos B cos A cos B qui, combinées avec leurs analogues, donnent enfin
Sf^)« ^ S(&)' S(r)« siuM sin*B ~ sin«C
I — cos* A — cos*B — cos* G -h 2 cos A cosB cosC
sin*Asin«Bsin*G
(^7) [ C(^) = C(é»)C(r) -h S(^)S(r) cosA, C(i»)--=C(c)C(^) -HS(c)S(fl)cosB, C(c) -C(/î)C(^) -f-S{/2)S(^)cosC-,
cosA cosBcosC — sinB8inCC(rt), cosB =^ cosCcosA— sinCsinAC(/»), cosC = cosAcosB — 8inA8inBC(c).
Telles sont les formules de la Trigonométrie rectiligne non eucli* dienne.
Les formules (17) donnent lieu à plusieurs observations :
i" Elles se réduisent aux formules de la Trigonométrie plane ordinaire
