GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE
ittrsque les côtés du triangle cf^sidéré sont infiniment f)etits. En effet, si l'on remplace les fondions S et C par leurs valeurs,
on trouve : pour le premier groupe,
et
sinA sinli sin('.
I — cos' A — cos* B — cos' C -h 2 cos A cos B cos C pour le deuxième, la formule
n^ = h^ 4- c;^ -^ ibc cos A
et ses analogues; enfin, pour le troisième,
cos A — cos ( B -h C ) et ses analogues.
a* La Trigonométrie sphéri*iue est aussi indépendante du postulatum d'Euctide; elle reste la même, que la somme des angles d'un triangle rectiligne soit égale ou inférieure à deux angles droits.
Au point où nous en sommes, quelques mots suffiront pour le montrer.
Considérons (Jig. 63 1) un faisceau de droites /)//i issues d'un point/? lans un plan P, et une droite pi extérieure à ce plan ; po étant la pru-
Fig. 63 1.
Tp
jeciiou de pi sur le plan P, désignons par B l'angle variable opm^ et par V le dièdre correspondant formé par les plans Ipo, Ipm ; pr étant un rayon fixe déterminé par un angle donné Oq, et Vo désignant l'angle dièdre correspondant formé par les plans Ipo^ Ipr^ on voit par un raisonnement analogue à celui du § III, a°, qu'on a
en posant
langô =
tangA
tangù
langV,
tangV< tangO,
L'angle A est une fonction de Finclinai^on 9 = opl de la droite pi sur le plan P ; en posant
et raisonnant comme au § IV, d'abord pour le trièdre dont un dièdre est droit, puis pour un trièdre quelconque, on arrive pour les trièdres ou pour les triangles spbériques à des formules qui ne sont autres que les formules (17) dans lesquelles on aurait remplacé a, b, c par //a, iAb^ ikc. Mais la comparaison des formules (i) et (5) montre que
S(i/z) = /sinz, C (//•«) = cosz.
On aura donc pour les triangles spbériques
sin'/i __ sin'A __ sin*r sîn«Â ~ sînMi ~" siïïn: '
cos^ = cos ^ cos r — sin b sin r* cos A,
cosA = cosB cosC — sin B sin C cosri,
On reconnaît les formules ordinaires, sauf le signe du second terme dans le deuxième membre de la seconde formule, ce qui tient à ce que nous avons fait entrer ici (IV, 2°) les angles extérieurs.
Il résulte de ce qui précède que les relations métriques des figures planes dépendent d'une longueur A:, qui ne peut être déterminée a priori; mais si ce paramètre k doit rester indéterminé au point de vue purement logique et abstrait, il n'en est plus de même quand on arrive à la pratique ; il faut alors le fixer, et il n'est pas d'autre moyen pour cela que de recourir à l'observation. Une seule expérience suffit; elle consiste à mesurer les éléments d'un triangle et à porter leurs valeurs numériques dans l'une des équations (17) ou dans une de leurs conséquences; on aura ainsi une équation numérique d'où l'on tirera la valeur de k. Or tout essai de ce genre conduit à une valeur de /- tellement grande qu'elle dé^ passe tout ce que nous pouvons mesurer. On est donc ramené dans la pratique à la Géométrie euclidienne, qui, comme nous l'avons vu, répond à^ = 00.
On peut dire encore, pour rendre la cbose peut-être plus sensible, que, d'après les formules (17), la somme des angles d'un triangle diflère d'autant plus de deux droits que les côtés du triangle sont plus grands;
