POINTS ET PLANS HARMONIQUEMENT ASSOCIÉS

THÉORÈME

2. Si deux tétraèdres AiA,AjAv, A; A'^A', Ai sont teU que Usdroites joignant les sommets homologues concourent en un même point S, /es droites du ^i, ^s» ^4 suimnt lesquelles se coupent les faces homologues sont situées dans un même plan 9.

En effet, deux arêtes homologues étant situées dans un même plan ont un point d'intersection. Soient B„ B,, . . . , B. les points où les arêtes du premier tétraèdre sont rencontrées par les-arôtes homologues du second. La droite d, contient les points B,, B„ B, ; la droite d^ passe par les points Bi, Bs, Bc. Ces lignes ont un point commun B,; donc elles sont situées dans un môme plan <t avec les droites rft, rfs, qui joignent

les points B| et Bc, Bs et Bj.

La démonstration de la réciproque ne présente pas de difficultés.

Les deux tétraèdres A,A,A,A*, B|B,B,Bv sont dits homologiques , S est le centre d'homolosie, 9 est le plwi d'homologie (938).

3. Étant donnés un tétraèdre Ai A, A, A* et un point M, appelons ji* le plan mené par M et l'arête «a, et v*, le plan conjugué harmonique de VLk par rapport au dièdre a* du tétraèdre; ces plans coupent Taréle opposée en deux points que nous désignons par les lettres m, n affectées de rindice propre à cette arête. La droite A^tM rencontre le plan si

en un point M^.

Les trois plans [ik, |Ai, \^ se coupent suivant la droite A^M, et les plans vi, v„ vj rencontrent cette droite au conjugué harmonique N* de M par rapport à A^M^. Si Çi, 5„ î„ U sont .les coordonnées normales ou barycentriques de M, celles de N^ sont Çt, Çii îsi — 5*-

Les plans jjli, k* se rencontrent suivant la droite B^Bi, qui passo par M. Les plans -u, *i, {i», v, formant un faisceau harmonique, déterminent sur mimt, une division harmonique miw^MN'j. Les plans vj, vj, ve passent également par n;. Les coordonnées de ce point sont — îi,

'no'us désignons par N„ N„ N„ N4 les conjugués harmoniques de ^ par rapport aux segments AiM„ A,M,; A,M„ A4M4; par N',, N;, Ni les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments mtm^, mi#n», mjme. Le Tableau suivant indique les coordonnées de ces points, les plans menés par ces points et les arêtes du tétraèdre, et les droites i;tu passent par ces points en s'appuyant sur deux arêtes opposées du

\^U K«»f*«»K4»f^5,Hlc;

Ni. . .

vi, 1*1, fx,, jji4,v,, Ve;

Nj. . .

tAi,v,, |Xj, v*, fxs, Ve;

f^oî^tjv,, V4, Vj, Ils;

fA|,fAj, JA,, v^, v,, vj;

1*1, V,, Va, 1A4, vj, Ve;

vi, Kt>v,, V4, fx,, Ve;

Vl, V,, fAj, 74, V,, |Jl,;