GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE

tétraèdre :

/Tii/n^, m^ms, /7]3/7ic; Ji, Jj, {j,

/W1/I4, ms/it, ms/^s; —^i» 5t» Îji

f7ii/ïi, mi/ij, m^n^; Çt» — £tf Îj»

m^fti, mirit^ rnifi^: 5i, ?i, — 5j,

mi/i4, mj/i|, ms/ie; Çi, î», Ssi —

mim4, /if /if, /I3 /le; — 5i» ?ii î»» —

/it /14, mt/7iti''29''>«; 5ii"-$î» îït —

/ii «4, «j /i», /ni/ne; Çi, Ji» — Sa» —

4. Les droites Aimi, Aimi, A3//J3 concourent en M4; par conséquent, les points /ii, /i|, /tj, conjugués harmoniques de mi, mi, ma par rapport à AfAs, AjAi, AiAt* sont situés sur la polaire de M« par rapport au triangle AiAtA|. Pareillement, les triples de points (/ii, /15, n^y (/t|, /?4, /?e), (/Ti, /i4, /le) sont situés sur les polaires des points Mi,Ms, M| par rapport aux triangles As As A4, As A4 Ai, A4AiAt. Ces quatre polaires ayant deux à deux un point commun sont situées dans un môme plan X, qu*on appelle plan polaire de M par rapport au tétraèdre Ai A) As A4. Les six points /ii, /ii, /isi />4i />§) n^ sont les sommets d'un quadrilatère complet, dont les diagonales se coupent aux points Ni, N], N',. Les coordonnées du plan \ sont inversement proportionnelles aux coordonnées baryeentriques du point M.

Les deux tétraèdres A1A1A3A4, NiN^N^M présentent cette particularité que deux arêtes opposées quelconques de Tun, par exemple, Al At et As A4, sont partagées harmoniquement par les deux arêtes correspondantes NiN;, n; m de Tautre tétraèdre. On en déduit que chacun de ces tétraèdres csl autopolaire par rapport à Tautre, c'està-dire que chaque sommet de l'un des tétraèdres est le pôle de la face opposée par rapport à l'autre tétraèdre. Ces tétraèdres sont homologiques; Ni est leur centre d'homologie, NiNsN4 est leur plan d'homologle.

Le tétraèdre NiNsNsN« est également autopolaire par rapport à Al As As A4; ces deux polyèdres ont M pour centre d'homologie, et leur plan d'homologie est N', iNsN,.

Pour d'autres propriétés intéressantes de la Ggure, nous renvoyons à un article de M. Stcphanos Cyparinos (Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 1879, p. 4^4 )•

Les tétraèdres Ai Ai As A4, MiMiMsNU ont également pour contre d'homologie le point M, et pour plan d'homologie le plan NiN',N^.

KOTE m.

SECTIONS ANTIPARALLELES D UN TETRAEDRE.