RAYON DE LA SPHERE CIRCONSCRITE

5. Désignons par 0 et R le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre A| Ai As A4, et par BiBsBtB4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés en Ai, A], A9, A4 à la sphère 0 (/îg. 1).

Si un plan parallèle au plan Bi B^Bs coupe les arêtes A4 Âi , A4 Ai, A4 Ai aux points Pi, Pt, P3, nous dirons que le triangle P1P1P3 est une section antipiarallèle du tétraèdre. Les côtés de ce triangle sont parallèles aux tangentes menées en A4 aux circonférences A4 As At, A4 A 9 Ai , A4 A|Ai ;

par conséquent, les six points Ai, As, A3, Pi, Ps, P3 sont situés sur une même sphère, et Ton a

A4Pi./74= A4Pj.r7g = A4P8.fl6=/>,

p étant la puissance de cette sphère par rapport à A4. On démontre faci-

GÊOMÉTRUt DU TÉTRAÈDRE.

lefoent les relations

PjPs ^ PaPi ^ Pi^ ^ P €ii€i^ éitci$ ^s^6 ii^a$a4

Donc les côtés d'une section antiparallèle menée dans l'un quelconque des quatre trièdres d'un tétraèdre sont proportionnels aux produits des arêtes opposées du tétraèdre»

Remarquons aussi que la forme des sections antiparallèles d'un tétrmèdre ne dimnge pas quand on tourna ht sommets du tétraèdre à une transformation par réQrons vecteurs réciproques.

Les circonférences circonscrites aux triangles Ai As As, PiPiPs appartîenoent à «n même cône €4, ayant son sommet en A4 (878); les plans tangents menés par les arêtes A4 Ai, A4A1, A4 As de ce cène forment un trièdre circonscrit tel, que les pians menés par les arêtes de ce trièdre, et respectivement par A4 Ai, A4At, A4A3Y se coupent suivant la même droite. Il résulte de là que tes centres des symédianes des triangles Al AiAa, PiPs?) sont sur une mène droite passtmX par A4.

Enfin, rappelons que le centre du cercle circonscrit au triangle Pi PjP) est sur la droite A4B4 (880).

6. La considération d'une section antiparallèlo conduit aisément à Texpression du rayon de la sphère 0. En effet, si D, D' sont les points où le rayon A4O coupe le plan PiP|Ps et la sphère 0, on a

Soient Y, V les volumes des tétraèdres A4PiPtP}, A4 Ai As As; Ton a (Exercice 616)

V'^ A4Pt.A4Ps.A4Ps.

V a^a^at^ '

d'où, on remplaçant A4P1, A4PS) A4PS par lours valeurs tirées do (i),

ajajaî

Désignons par T l'aire du triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques ti\a^^ ^s^ii ^s^; R cause des égalités (1),

aire

par suite,

aia\a\

V'=ip.P.P..A»D=^-^-;^A»D.

6oO NOTE III.

Égalons les deux valeurs de Vet remplaçons /> par 2R.À4D; il vient

6RV = T.

Celte démonstration est due à von Standt (Journal de Crelle, t. 57, p. 88).