LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

une figure rectiligne à laquelle on donne, par extension, le nom âepo» Ijrgone; ainsi quand nous dirons le polygone ABC DE, il faudra entendre la figure rectiligne obtenue en joignant par des lignes droites le premier point A au second point B, le second point B au troisième C, .. .| et enfin le dernier point E au premier A.

Considérons, dans un plan, deux systèmes de points A et A', B et B', C et C, . . ., qui se correspondent un à un d'après une loi géométrique d'ailleurs quelconque. Soient AB. . . PQR. . . , un polygone formé avec les points du premier système, et A'B'.. .FQ'Ii'.. . , le polygone formé avec les points correspondants ou homologues du second système. Supposons enfin que deux observateurs parcourent simultanément, Tun le chemin bien détermiâé.AB. . .PQR.. ., l'autre le chemin correspondant A'B'...P'Q'R.. .. Nous dirons que les deux polygones AB...PQR..., A'B'. . .P'Q'R'. . . sont de même sens ou de sens opposés suivant que deux sommets homologues quelconques R et R' sont vus de la même manière (c'est-à-dire tous deux adroite ou tous deux à gauche), ou de manières différentes (c'est-à-dire Tun à droite, l'autre à gauche) parles observateurs parcourant les deux côtés homologues PQ, P'Q' qui précèdent immédiatement R et R'.

Nous désignons» en général, deux sommets homologues de deux polygones correspondants par une même lettre, en accentuant celle qui est relative au second polygone; toutefois cette notation n'est pas toujours possible, quand les deux figures ont des points communs, à moins de mettro^ deux lettres à un môme point, ce qui serait une complication inutile. On évite toute ambiguïté en convenant d'attribuer, dans les symboles ABC. . ., MNS. . . qui désignent deux polygones correspondants, le môme rang aux deux lettres qui répondent à deux points homologues ; ainsi, A est l'homologue de M, B l'homologue de N, etc.

Deux polygones correspondants ABC..., A'B'C... sont dits égaux lorsqu'on peut les superposer soit directement, soit par retournement, de manière que chaque sommet vienne sur son homologue. Dès que le mode de correspondance des sommets est fixé, il est clair que la superposition n'est possible que d'une seule manière.

174. Deux ftotjrgones égaux et de même sens ABC. . . , A'B'C. . . coïn^ cideni dés qi^iis ont deux couples A et AL B et h' de sommets consécu" tifs communs.

En efl'et, dès que A'est en A' et B en B', BC prend la direction h'C, puisque BC et B'C sont du môme côté par rapport à AB et font des angles égaux avec cette droite; d'ailleurs, B'C = BC; donc C tombe en C, et l'on verrait de môme que D' tombe en D, et ainsi do suite.

Si les polygones étaient de sens opposés, ils seraient symétriques par rapport au côté commun AB; car si l'on imaginele polygone ABCiDi.. .

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GÉOMÊTRU PLANE.

Symétrique de ABCD. . . par rapport à AB, ce nouveau polygone sera de même sens que A'B'C'D'. . ., lui sera égal et aura avec lui deux points homologues communs A et A', B et B'; donc il coïncidera avec lui, d'après la proposition précédente.

THÉORÈME I

175. Lorsque deux polygones égaux et de même sens ABC . . . , A'B'C . . . sont situés dans un même plan, on peut amener le premier sur le second par une rotation autour d^un point du plan {fig, i3a).

Il suffit, d'après le n° 174, de montrer qu'on peut, par une rotation, amener A sur A' et B sur B'.

Or construisons sur A'B' un triangle A'B'A* ^al à ABA' et de même sens, et soit 0 le centre du cercle qui passe par les trois points A, A', A'. Les triangles OAA', OA'A' sont égaux comme ayant les trois côtés égaux ; ils sont, en outre, de même sens, car deux cordes égales et consécutives AA', A'A' d'un cercle comprennent le diamètre A'O qui aboutit à leur point commun. Donc, si, par une rotation autour de 0, on amène OA sur OA', le triangle OAA' coïncidera (174) avec OA'A'; et, par suite, le triangle ABA' coïncidera avec A'B'A".

Fig. i32.

Fig. i33.

Il importo de remarquer que le centre de rotation 0 doit être équidistant de deux points homologues quelconques ; il est donc le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des droites qui joignent deux points homologues quelconques.

Enfin le raisonnement et l^conclusion supposent que les points A, A', A' no soient pas en ligne droite, c'est-à-dire, d'après la construction du point A', que AB et A' B' ne soient pas parallèles et de même sens ; s'il on était ainsi, la figure AA'BB' serait un parallélogramme, AA' et BB' seraient donc égales, parallèles et de même sens, et alors, pour amener A sur A' et B sur B' et, par suite, la première figure sur la seconde, il suffirait d'opérer sur la première figure une translation^ c'est-à-dire de faire décrire à chaque sommet une droite égale et parallèle à AA^

livrk 11. — la cirgonférencb de cercle. 107

Corollaires.

176. Quand une figure de forme et de grandeur invariables se déplace dans aon plan d*un mouvement continu, chaque point décrit une trajectoire; soient ABC. . . une position quelconque de la figure, A'B'C. . . une position voisine; si la seconde figure tend vers la première, les cordes AA', DB', ce, . . . deviennent les tangentes en A, B, C, . . . , aux trajectoires de ces points, et les perpendiculaires élevées sur les milieux des cordes deviennent les normales aux trajectoires; comme ces perpendiculaires passent par un même point 0 dont la situation dépend à la fois des deux positions successives ABC. .., A'B'C. . . de la figure, à la limite, ces perpendiculaires, c'est-à-dire les normales, passeront par un même point co dont la situation ne dépend plus que de la position AB(^. ... de la figure considérée. Donc, quand une figure se déplace dans son plan, les normales aux trajectoires des divers points, pour une position tléterminée quelconque de la figure, passent par un même point co ; ce point (i> a reçu le nom de centre instantané de rotation relatif à la position considérée de la figure.

Si Ton sait mener les normales aux trajectoires de deux points de la fi<;ure mobile, on aura par Tintersection de ces droites le point co, et il suffira de joindre w à tout autre point de la figure pour avoir la normale et, par suite, la tangente à la trajectoire de ce point.

177. Considérons, on particulier, le déplacement d'une droite AB (fig. i33). Soient (o le centre instantané relatif à la position AB, et P la projection de co sur la droite AB, c'est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée de u> sur AB. Quand AB se déplace, le point P, considéré comme invariablement lié à la portion de droite AB, décrit une trajectoire qui, d'après le numéro précédent, a pour normale Pcuet, par suite, pour tangente en P la droite PAB. Donc, quand une droite se cléplace dans un plan suivant une loi déterminée quelconque, elle reste constamment tangente à une ligne qu'on nomme son enveloppe; et, pour une position quelconque de la droite, le point où elle touche son enveloppe est la projection sur cette droite du centre instantané de rotation correspondant.

Ce point de contact est aussi la limite du 'point 1 où la droite AB est rencontrée fxir sa position infiniment voisine A'B'. En effet, soient 0 le point autour duquel il faut faire tourner AB pour amener A en A' et B en B', Q et Q' les projections de 0 sur AB et A'B'. Le point I est l' intersection des tangentes AB, A'B' au cercle décrit du point 0 comme centre avec OQ = OQ' pour*rayon; la distance QI, moindre que QQ', tend donc vers zéro quand A'B' tend vers AB; donc le point I a la même

limite que le point Q, c'est-à-dire a pour limite la projection P sur AB du centre instantané co relatif à AB.

THÉORÈME II

178. Lorsque deux polygones égaux et de sens opposés ABC. . ., A'B'C. . . sont situés dans un même plan^ on peut amener le premier sur le second au moyen du retournement du plan autour d^ un certain ajce et d'une translation rectiligne parallèle à cet axe (Jig, i34).

Fig. 134.

nj V. B

Kn effet, achevons le parallélogramme AA'B'Bs dont AA' et A'B' sont deux côtés consécutifs; puis, par le milieu I de AA', menons la parallèle L à la bissectrice AE de l'angle B^ AB. Le polygone Ai Bi Ci . . . , symétrique de ABC. . . par rapport à L, étant égal à A'B'C. . . et de même sens, il suffît de prouver que la figure A'B'Bi Ai est un parallélogramme, et que AAi est parallèle à L; car, alors, en repliant le plan autour de L, on amènera ABC... sur AiBiCi...; puis une translation rectiligne égale et parallèle à AiA' et, par conséquent, parallèle à L amènera Ai sur A', Bi sur B' et, par suite (17i), AiBiC,. . . sur A'B'C. ...

Or AiBi et AB], étant les symétriques d'une même droite AB par rapport à deux axes parallèles L et AE, sont égales, parallèles et de môme sens; d'ailleurs A'B' et ABj sont aussi égales, parallèles et de même sens; il en est donc de même pour AiBi et A'B', de sorte que la figure A'B'BiAi est bien un parallélogramme. D'autre part, a étant le milieu de AAi, c'est-à-dire le point de rencontre des deux droites rectangulaires AAi et L, et a' étant la projection de A' sur L, les triangles rectangles Ala, A'Iol' sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et les angles égaux; il en résulte A'a'= Aa = aAi, de sorte que la figure Al A' s' a est un rectangle, ce qui prouve que Ai A' est parallèle à L.

I^ droite L est également inclinée sur deux côtés homologues quelconques des deux polygones, et elle contient les milieux des droites qui joignent les sommets homologues.