POINTS INVERSES

THÉORÈME

7. Soit f/jt /^ pi<fn mené par un point donné M et par l'arête ax de tétraèdre AiAtAiA4, et soit v^ le plan symétrique de ^k pftr rapport au plan bissecteur du dièdre «^ du tétraèdre : i" les plans V|, vti ... passent par un même point N; i"" les coordonnées normales de N sont inversement proportionnelles à celles de M ; 3*^ les' projections (Ml, Ml, Ms, M4), (Ni, Ni, Ns, N4) des points M et 'S sur les faces du tétraèdre A] As A3 A4, sont huit points d'une méhie sphère; 4" lef deujr pentagones complets MAïAsAjA^, NN1N1N3N4 sont tels, que la droite joignant deux sommets de l'un est perpendiculaire au plan passant par les sommets non homologues de l'autre polygone.

Appelons Q le centre de la sphère MiMsMsM4, N le symétrique de M par rapport à Q, et Ni, Ni, Na, N^ les projections de N sur les faces du tétraèdre Ai As As A4. Comme Q se projette au centre du petit cercle suivant lequel le plan s^ coupe la sphère Q, M^-Na est un diamètre de ce cercle. Donc les points Ni, Nj, . . . appartiennent à la sphère Q.

La droite MMa: coupe cette sphère en un point N^. symétrique de Nx par rapport au centre Q; par conséquent, NNa = Ni M. Or

mMi.mn; = mMî.mn; = mMj.mn; = mau.mn; :

donc les coordonnées normales de M sont inversement proportionnelles à celles de N. Il résulte de là que les plans Mai-. Nf?x sont symétriques par rapport au dièdre «a-.

Les droiles NNi, NNj, NN3, NN4 sont déjà perpendiculaires aux plans A2A3A4, Al As A;, AiAtA4, Al As As. Le plan NNiNs est coupé, par la droite A3 A4 en un point L, et par le plan MAjA4 suivant la droite L'L, isogonale de L'N par rapport à Tangle NiLNs", donc la droite NiNs est perpendiculaire à la droite LL' et, par suite, au plan MA3A4 qui est mené par LL' perpendiculairement au plan NNiNs. Les droites NiNs^ N1N3 étant perpendiculaires aux plans M As A4, M Ai A4, le plan N'iNsNs est perpendiculaire à la droite MA4.

SCOLIE

8. 1** Les points M, N sont des points inverses par rap])ort au tétraèdre

GtQBtrmil ne TtTULÈDtE« 6oi

AiAtAjA». Ce sonl les fovers d'une sarfaee de révolatioo du seeond ordre, touchant les faces du tétraèdre. En effet, construisons, dans un plan quelconque mené par UN, la conique ayant pour foyers les points M, N el pour axe principal le diamètre de la sphère Q qui est dirigt^ suivant MN : cette courbe, en tournant autour de la droite MN. engendre une surface de révolution S. La sphère Q est le lieu des projections des foyers M. N sur les plans tangents à S. Réciproquement, le plan Sk, perpendiculaire à la droite MMi^. aboutissant à un point }ijt de la sphère, touche la surface S.

1* Lorsque le point M est à Tinfini, on a le théorème suivant : Par les arêtes d'un tétraèdre Ai AjAs A4, on fnène des f^ans parai-tèles à une méhie droite d; les sj-métriques de ces plans par rapport aux plans bissecteurs des dièdres correspondants du tétraèdre passent par un mérne point N. dont les projections sur les faces du tétraèdre sont situées dans un m^ne plan o perpendiculaire à d. Ce point ett le foyer d'un paraboloîde de révolution touchant les quatre faces du té^ traèdre et le p!an 8 ; les diamètres de cette surface sont paralicles à d. Le plan 0 offre quelque analogie avec la droite de Simson d*un point de la circonférence circonscrite à un triangle. Mais nous foisons remarquer que le lieu de N n*est pas la sphère circonscrite au tétraèdre Al At AjA^; ce lieu est une surface du troisième ordre.

TÉTa.iBDaES ET PENTAGONES OETHOLOGIOVES.

THÉORÈME

9. Si deux tétraèdres Al XiX^Xi, CiCiCjC» sont tels y que les perpendiculaires abaissées det sommet f du premier sur les faces opposées du tecond concourent en un mente point A» les perpendiculaires abaissée^ des sommets du second tétraèdre sur les faces opposées du premier concourent également en un même point C.

Voici trois figures où ce théorème s*apercoit immédiatement :

t*" Soit D le point inverse de A par rapport au tétraèdre AiAfAsA^. et soient Di, Di, Ds, D^ les projections de D sur les faces de ce tétraèdre.

'2* Appelons 0, 0|, (),, 0,, O4 les centres des sphères circonscrileî* aux tétraèdres Ai Ai Ai A4, AAsAjA^, AAïAsA^, AAiAfA^, AA1A1A3.

3* Transformons le tétraèdre Ai As A] A4 par polaires réciproques en prenant une sphère directrice, de centre A; soit EiEiKsE4 le tétraèdre ainsi obtenu. Les tétraèdres DiDtDtl)4, OiOtOi04, E|E| Es E4 ont leurs faces perpendiculaires aux droites AAi, AAt, AAa, AA4 et, par suite, sont liomolhéliques à C1C1CJC4: il résulte do leur construction que les perpendiculaires menées par leurs sommets sur les faces correspondantes du tétraèdre Ai At A3 A4 concourent en un même point D, 0 ou A.

6o^ TfOTB 111.

SCOLIB.

10. i^'Les tétraèdres Ai As As Av» CiCsCtC^ sont dits orlhohgiques ; les points A, C en sont les métapôles.

Les pentagones complets AAi AjAtAi, C Ci CsCsC^ jouissent delà propriété qu*x//i côté quelconque de l'un d'eux est perpendiculaire à la face opposée de l'autre; par exemple, le côté As A4 est perpendiculaire au plan CCiCs; les pentagones peuvent, également, être appelés ^rihologiques.

2** Les distances d'un sommet du premier pentagone aux autres sommets sont inversement proportionnelles aux distances du sonunet homologuje du second pentagone aux faces non cuffàcentes de ce poty-^ gone. Cette propriété se voit inunédiatement si Ton prend pour CiCjCsCv le tétraèdre désigné ci-dessus par DiD|DsD4 ou EiEsEsH^.

3° Deux cotés correspondants Ai As, CiC« de deux pentagones ort/iologiques sont divisés dans le même rapport par les faces opposées AAsA4y CCsC^.

£n effet, appelons a le point de rencontre de Ai As avec le plan AAs A4, c celui de CiCs avec le plan CCsC4, et soient a\ d les points situés à rinfini sur AiAt, CiCs« La droite Aa, intersection des plans AAtAs» AAsA4 qui sont perpendiculaires aux droites CsC4, CiCs, est perpendiculaire au plan CSC46'. Par conséquent, le faisceau des plans CSC4C1, CSC4C2, CsC4<;, CsC4c' a même rapport anharmooique que le faisceau des droites AAs, AA|, Aa', Aa qui sont perpendiculaires à ces plans. Si Ton coupe ces faisceaux par les transversales CiCs, Ai As, on obtient

(CiCcc') = (A,Aia'ii) ou £5l«^-

ct<s a As

11 résulte de là que deux sommets correspondants de deux pcnta^ gones orthologiques ont, respectivement, mêmes coordonnées baryoen* triques dans les tétraèdres formés par les autres sommets.

POINT INVeftSB DU CSTIT&E DE GRAVITÉ d'uN TBTRAÂDAE*

11. Soient xi, xs, xs, X4 les coordonnées normales absolues d*un point L par rapport au tétraèdre Ai As As A4. On a Tidentité

{x\ H- j:| ^ j:} -H xf )( j} -*- 1 j -h y| -h aJ)— (.f| x, -^ .f,x, -♦* s^Xt-^- #4X4)» = {Ji-r8— *tXi)«-h(j,x,--faJ?i)"-4-...-+-(jrsX4 — 'T»-*^»)*. Le second membre de cette égalité se réduit à zéro, lorsque

•^1 __ JTs __ Xs X4 Sy St Si S%

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6o3

et la quantité ^i xi -^«^Xf-^ s^jc^ h- ^4X4 a la valear constante 3 V ; par conséquent, le minimum de la somme j srf jc} h- x| -4- x| h- xj corres" pond au point L dont tes coordonnées normaies sont pr9portionmeiles aux aires des faces du tétraèdre. Les ooordoaaées du centre de gravité 6 étant égalas aaz quarts des hauteurs Âi^ A,, Ji^^ A^, L est l*in» verse de G par rapport au t^raêdre; il est le ^centre de gravité du tétraèdre qui a pour soimnets ies projections de L sur les faces de

Pour le minimum cherché,

Le poiat L rappelle, par quelques-unes de ses propriétés, le centre des symédianes d'un triangle ; mais Tanalogie entre les deux points est loin d'être complète.

QUADRUPLES UYPBRBOLOÏDIQUES.

LEMMË.

12. Étant données quatre droites gu g\^ gi^ g\i non situées deux à deux dans un même plan, il existe, en général, deux droites s' appuyant sur ces lignes; mais, si l'on peut assigner trois droites s' appuyant sur g\> S^y S*9 gki ^ ^1^ existe une infinité.

Cette proposition résulte du n** 1212; en voici une démonstration directe. Soit A un point quelconque de^i ; les plans ^t A, ^a A se coupent suivant une droite H s'appuyant sur ^1, ^1, g^, et ils rencontrent gi, en deux points B, C, qui sont généralement distincts. Lorsque A parcourt g\^ les plans ^sA, g%k engendrent deux faisceaux homographiques; par conséquent, les points B, G marquent sur ^4 deux divisions homographiqoes. Soient £, F les points doubles de ces divisions; les plans ^lE, g^E se coupent suivant une droite rencontrant gi^g^^git gk» et il en est de même des plans gtV, ^jF.

Si, dans trois positions de A, les points B, G se confondent, ils coïncident constamment (liOi), et toute droite s'appuyant sur gi^ gu g% rencontre également ^4*

13. Dans la dernière hypothèse, la droite H engendre un byperboli^de ou un paraboloïde, dont ^1, ^1, ^3, g^ sont des génératrices du second mode. On dit alors que gtt gty ^s* gk constituent un quadruple hyperùolotdique ou, plus simplement, que ces droites sont /lyperùolaldiques.

De tels systènoes de quatre droites se présentent fréquemment dans

6o4 NOTE III.

la Géométrie du tétraèdre ; ils y remplacent les triples de droites concourantes de la Géométrie plane.

Soient Pi, Pt^ Psi P4 quatre points pris dans les plans des faces vi, n^^f^, s^ d'un tétraèdre AiÂiÂsA^. Pour que les quatre lignes Ai Pi, A^Pt, A3P3, A^Pi soient hyperboloîdiques, il suffît de trouver trois droites qui les rencontrent. Par exemple, par le point A^ de l'une de ces lignes, il doit passer une droite s'appuyant sur les trois autres, ce qui exige que les plans A4A1P1, AiAsPj, A4AsPs se coupent suivant une môme droite; ou que les droites A4P1, A^Ps, A^Ps rencontrent As A3, A3 Ai, AiAt en des points pu pty pz tels, que les droites Aipi, A2/>s, kipi concourent en un même point. De même, les plans AiA^P^, Ai As Pi, A1A3P) doivent se couper suivant la môme droite, etc.

Désignons maintenant par/7i, ptjpi.p\ quatre lignes hyperboloTdiques, situées dans les faces du tétraèdre A1A2A3A4. Le plan A1A1A3, mené par/74, coupe /?!, pi^ pz en trois points d'une môme droite; autrement dit, les droites /7i,/73, 773 rencontrent AxA3, As Ai, Ai As en trois points qui sont en ligne droite. Une semblable condition doit ôtre remplie par trois faces du tétraèdre.

Applications.

14. i" Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux centres des cercles ♦ inscrits aux faces opposées sont h/perbololdiques, {Exercice 573, p. 5i3.}

2° Soit BiBsBsBv le tétraèdre formé par les plans tangents menés par les sommets du tétraèdre Ai As A3 A4 à la sphère circonscrite, et soient Ki, Ks, K3. K4 les centres des symédianes des faces de Ai As A3 A4.

Si le plan Ai As A3 coupe les droites B4B1, B4BS, B4B3 aux points C|, Cj, C3, les côtés du triangle CiGsCs touchent en Ai, As, As la circonférence circonscrite au triangle Ai As A3; donc les plans B4B1A1, B4BtA3. B4BSA3 se coupent suivant la droite joignant B4 au centre des symé* dianes do Ai As A3. Par conséquent, les droites AiBi, AsBs, A3B3, A4B4 sont des génératrices d'un même mode y et les droites BtKf, BsKs, BsK^. B4K4 sont des génératrices de l'autre mode d'un hxperbololde.

3° Le plan BiBsBs rencontre les côtés du triangle Ai As A3 en trois points Di, Ds, D3 qui sont les conjugués harmoniques, par rapport à ces côtés, des points où aboutissent les symédianes A4K1, A4KS, A4K3; on conclut de là que les plans A4A1K1, A4AsKs, A4A3K3 se coupent suivant une môme droite. Par suite, les droites AïKi, AsRs) AsKs, A4K1 sont hrperboloïdiques.

r Appelons d^ ^1, <^si d^, les intersections des faces homologues des tétraèdres Ai As A3 A4, Bi BSB3B4. Le plan B4BS B3 rencontre le plan A| As Aj suivant une droite CsCs qui touche en Ct le cercle Ai As A3. Le point

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6oO

dMntersection Et de C2C3, As A3 appartient à la ligne di ; mais les Irois points analogues, situés sur les côtés du triangle Ai As A3, sont sur la polaire de K^ par rapport à Ai As A3. Donc les plans homologues des tétraèdres Ai As A3 A v, BiBsBsB^ se coupent suivant quatre lignes hyperboloidiques,

THÉORÈME

15. Si les droites joignant les sommets homologues de deux tétraèdres Al As A3 Ai, E1ESE3E4 sont hxperboloïdiques, les lignes d'intersection des faces correspondantes jouissent de la même propriété.

Soient Fi, Fs, F3 les points de rencontre du plan Ai As As avec les droites E4E1, E^Es, E^Es. Par hypothèse, les plans E4E1A1, E^EsAs, E4E3A3 passent par une même droite; donc les droites Et Ai, Es As, Es A3 concourent en un môme point. Les côtés homologues des triangles El Es Es, Al As As se coupent donc en trois points Gi, Gs, 63 d'une môme droite. Or, ces points appartiennent, respectivement, aux droites d*inlersection des plans B^BsBs et A^AsAs, B^BsBi et A^AsAi, B4B1BS et A^AfAs; donc la droite GiGsGs s'appuie sur les quatre lignes suivant lesquelles se coupent les faces homologues des deux tétraèdres AiAs As A^, Bi BsBsB^.

La réciproque de ce théorème est également vraie.

THÉORÈME

16. Soient (Pi, Qi), (Ps, Qs), (P3, Qs), (P4, Q4) quatre couples de points inverses par rapport aux triangles des faces du tétraèdre Al As As Av. Si les droites Xx^x, AsPsi AsPsi A4P4 sont hjrperùoloidiques, les droites AiQi, AsQsi AsQs, A4Q4 le sont paiement.

En effet, prenons sur A4 Ai, A^As, A4 As trois longueurs égales A4Ni= A4Ns = A4N3; les droites A4P1 et A4Q,, A4PS et A4OS, A4P3 et A4Q3 coupent, respectivement, les côtés du triangle NiNsNs en des couples de points isotomiquos. Par hypothèse, les plans A4A1 P|, A4 As Ps* A4A3P3 se coupent suivant une môme droite, ou leurs traces sur le plan NiNsNs concourent en un môme point; on déduit de là que les traces des plans A4A1Q1, A4AsQs» AvAsQs sont également concourantes, ou que ces plans se coupent suivant une môme droite.

8PIIBRE8 TANGENTES AUX QUATRE PACKS D*UN TéTRAÂORB.

i7. M. Hermary a fait connaître dans le Bulletin de la Société mathdnuaique de France, t. VII, p. i38, une solution remarquable du problème de construire une sphère touchant les quatre faces (indéfinies) d'un tétraèdre Al As As A4. Cette solution va nous donner un complément

NOTB IIL

de la discussion établie aa n* 963 et quelques propfiétôs des pointa de contact des faces du. tétraèdre avec les difféirentes sphères résolyanl le problème.

Désignons par (ii, fir, (As les plans bissecteurs intérieurs des (fièdree (^^1 ^i)) {^k> •^s)) (<^4) '^3)» 6t par Vf, V|, V3 leurs plans bissecteurs extérieurs. Il peut y avoir huit sphères touchant les faces du tétraèdre; leurs centres, indiqués par les lettres I, J, J' sont les intersections des plans suivants :