I ... {A|, (t,, \ki\ Jt-.. vt, vi, v

Ji... vt, jx,, fxy; Ji... 1*1, V,, fjiy; J, . . . jx,, fx,, V3 :

j;... fil, V,, V3; J'j... V,, fX,, V3; J',... V,, v„ fx,:

leurs points de contact avec te plan Ai At A3 seront dénotés par U, i^i, Considérons (^. %) l'une qvelcooqpvff de ces sphères. Eabattonsf les

Fi^. 2.

plans ^1, i^, ft antoar des arêtes oi, «t, «9 sur le plan i» dans des sens tels, qu'ils écrasent la sphère; leurs pointe de contact Tiennent coïncider avec le point de eentacl dn plan i« et, comme ils étaieol à égal»

GfiOMÉTRIB DU TtTRAËDRE. €k>7

distance de A4, le point de contact de t^ sera le centre de la circonférence passant par les trois rabattements de A4 sur le plan AtÂtà».

D'après cela,, noas décrivons dans le plan Ai As As trois circonférences ayant pour centres les pointa A|, A|, A3 et pour rayons les distances Al A4, As A4, AaA4. Soient Dt et D| , Di et û,, Da et D, les intersections de ces courbes deux à deux.; ce sont les différents rabattements possibles du sommet A4 autour des arêtes ai, «st ^s- Si ^u D»i Ds sont situés du môme côté de ces arêtes que les sommets opposés Ai, As, As, les points de contact du plan AtAsAs avec les sphères cherchées senties centres des circonférences passant par les points suivants :

I4 D,, Ds, D,; J*4.... D;,Di,Di;

J14.... D;,Ds, Ds; J,*.... D,, D',, Ds; Js4 . • • D„D,,Di: j;,... D„ D's, Ds; Ji4 .• I>',,D„Di; ^,4. . D;, D;, Ds.

Les droites DjDi, DsD',, DsD', concourent en un môme point H4, qui est la projection de A4 sur le plan Ai As As. Comme

H4D1.H4D; = H4D,.H4Di = H4D,.H4Di,

les circonférences Di DsDs, d; D', d; sont des lignes inverses par rapport au point H4, et leurs centres U, J44 sont en ligne droite avec H4; cette dernière propriété résulte aussi de ce que les plans bissecteurs dos dièdres A4A1, A4AS, A4AS du tétraèdre se coupent suivant une môme droite passant par A4, 1, J4. Les points I4, J4* sont des points inverses par rapport au triangle Ai As As; car les lignes Ai I4, Ai J44, par exemple, sont perpendiculaires aux lignes Ds Ds. D;d; qui, étant antiparallèles par rapport aux droites DsD;, DsDj, le sont aussi par rapport à Ai As, Al As* Cette proposition peut se démontrer directement; en effet, si X, Y, Z, X', r, t sont les projections de I41 hk sur AsA«, AsAi, Ai As, les triangles II4X et X'J44J4, ... sont semblables, d'où les égalités

I4X.J4*X'- l4Y.J4^Y'= I4Z.J4VZ'= IU.J4JU,

de sorte que les coordonnées normales de J44 sont inversement proportionnelles h celles de I4.

Ainsi, lespoùitsU et J4H iu et J',,, Jsv et j;^, J,4 et J'.^ sont des points inverses par rapport an Sriangk AfAsA*; iU sont situés sur quatre droites passant par II4.

i8. Les triples de poiBisD.DsDs, D'iD;d;, D; DtDs, D,D;Ds, D|DsD; sont toujours los sonmets de triangles proprement dits ; par conséquent.

6oS

NOTB 111.

les points U, J^v? Ju) hk^ hk sont à distance finie: la sphère inscrite et les sphères exinscrites existent toujours.

Si les points D\ , D|, D) sont situés en ligne droite {^g, 3), le point J', ^ se transporte à Tinfîni dans la direction perpendiculaire à D\ D,, et nous dirons que la sphère J, disparaît à Tinfini. La circonférence DiDsO, passe maintenant par H4 et son centre Js est situé sur la circonférence circonscrite au triangle At AtÂs, à Tintersection avec la perpendiculaire

Fig. 3.

abaissée de H4 sur D^ D,. Le triangle D|DsD', est symétriquement semblable à Al As A3. Le quadrilatère inscrit DiDiDjH^ donne

DiD,.H4Di = D,D;.H4D,-+-D,D;.H4Di

ou, en remplaçant les côtés de DiDsD', par ceux de Ai As A3,

A,A,(C,D3-f-C,IU)=A,A,(C,Di-C,H0-A,A,(C,D,-C,H0, d'où Ton tire aisément

.V3 -+- X^ -=r Jj -f- .Vj,

Telle est la condition pour que la sphère J, disparaisse. On peut lui donner d'autres formes. En effet, les angles D^DsOi, DiD^Di doivent être supplémentaires; mais, dans les deux circonférences ayant pour centres Ai, As, ces angles inscrits et les angles aux centres DsAiDj, D^ AsD| sous-lendent des arcs ayant les mômes extrémités. On conclut