GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
de là que la somme des angles plans composant les trièdres Ai ^ Ai du té-' traèdre égale quatredroits, ou que,dans/e quadrilatère gauche Ai A3 A] A 4, la somme de deux angles opposés égale celle des autres angles opposés. Observons également que le triangle D^D'i D3 est semblable à AiAfAv; Tangle D',I>^D|, par exemple, étant égal à la moitié de Tangle au centre DsAfDs qui, dans la circonférence D'^D'^Ds, sous- tend le môme arc.
La combinaison D| D', D3 conduit à une sphère inscrite dans le comble Ai As ou dans le comble A3 A^, suivant que la droite D^ D, passe ou non
entre les points D3, D3. La somme dos angles D'^DsO^^, D^DaD', est, respectivement, supérieure ou inférieure à deux angles droits et, dans le quadrilatère gauche A| AsAfAi, la somme des angles opposés à la dia-
R. et DE C. — Tr. de (ieom, ( !!• Partie ).
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gonale Â1A2 est, respeetivement, inférieure ou supérieure à celle de& angles opposés à la diagonale Aa A4.
19. Les deux sphères J,, J3 disparaissent à l'infini, lorsque les points Di, Ds, D3 sont en ligne droite, ainsi que Dj, DJ^, Ds. Les deux circonférences Di D'j D3, Di Di D'j (y%. 4) passent maintenant par H4 ; les points Jî4, J.34 sont situés à l'intersection de la circonférence Ai As A3 avec les perpendiculaires abaissées de H4 sur les droites J>[ D,, D^ D^, et la droite qui les joint est perpendiculaire au milieu de H4D1 et, par suite, parailèle à AtAs.
Les deux triangles D1D2D3, DiD',D3 sont symétriquement semblables à Al As A3. Le triangle DjDjDj est équiangle à chacune des faces As Al A4, A3 A4 Al ; donc celles-ci sont égales entre elles, et
AiAs = AaA4, AiA3 = A2A4.
Ainsi, deux sphères inscrites dans les combles disparaissent y lorsque Iv
tétraèdre a deux couples d* arêtes opposées égales.
Le parallélipipède circonscrit au tétraèdre Ai As A3 A4 est droit et a
pour base un parallélogramme obliquangle (p. SaS, exercice 660). Parmi
les trois droites joignant les milieux des arêtes opposées du tétraèdre
(ces droites sont appelées médianes du tétraèdre), l'une est perpendi*
culaire sur les deux autres.
Fig. 5.
20. Les trois sphères J'i, Js, J3 disparaissent si les trois triples D; D's Ds, Di D; D's, D; DsD; sont sur trois droites {fig. 5). Alors les arôte^ opposées As As et Al A4, As Ai et As A4, Ai As et A3 A4 sont égales, et les quatre faces du tétraèdre sont égales entre elles. Les points Ai, As> A»
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soDt les milieux des côtés du triangle D', D2D3; les points Di, Di, D3 sont les pieds des hauteurs du môme triangle. Les points Ju, J14, Jjv sont les milieux des segments D1H4, D'^Hi, D',H4 compris entre les sommets du triangle D^ D^D, et son orthocentre H^; U est le centre du cercle A1Â2A3, J44 est Torthocentre du triangle Ai As A3.
Le tétraèdre particulier que nous venons de considérer a reçu le nom de tétraèdre équifaciaL Le parailélipipède circonscrit est rectangle; les trois médianes sont perpendiculaires deux à deux et leur point de concours est à la fois le centre de gravité du tétraèdre, le centre de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite. D'après ce que l'on a vu plus haut, les points de contact de la sphère inscrite avec les faces sont les centres des cercles circonscrits à ces faces; les points de contact intérieurs des sphères exinscrites sont les orthocentres des faces; enfin, les points de contact extérieurs des sphères exinscrites sont situés sur la sphère circonscrite au tétraèdre. Les centres des sphères exinscrites sont les symétriques des sommets du tétraèdre par rapport au centre de la sphère inscrite; ce sont donc des sommets du parallélépipède circonscrit au tétraèdre.
