DA EA '*^ DB^EC

Cela posé, il faut distinguer plusieurs cas:

Supposons d* abord les points D e/ £ situés sur les côtés euxmêmes, c'est-à-dire Tun D entre A et B, et l'autre E entre A et C (Jig. 1 38) ; et concevons par le point D une parallèle à BC Cette parallèle déterminera (181 ) entre A et C un point dont

DA

les distances à A et C formeront un rapport égal à -rr^- Or,

entre A et C(179), il n'existe qu'un seul point dont le rapport

des dislances à A et C soit égal à 77^1 et ce point est par hy-

pothèse le point E. Donc la parallèle à BC, menée par le point D, passe par E et coTncide avec DE. Donc enfln DE est parallèle à BC.

Supposons^ en second lieu, les points D et E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous

de AB {Jig. i3g ), le rapport ^r-.z sera supérieur à i ; il en sera

EA

donc de même de son égal ^ et, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si D était au-dessus de B A {/Ig, i4o ), la proportion (1) exigerait que E fût au-dessus de CA; puis, on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Celle réciproque demande une certaine attention; l'hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l'existence de la proportion (i), et l'autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la même manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d'ordinaire pour plus de brièveté, cette seconde partie est indispensable; car si l'un des points D était, par exemple, sur le côté lui-même et l'autre E sur l'un des prolongements, la droite DE ne saurait être parallèle à BC, bien que la proportion (i) fût satisfaite.

R. et DB c. — Tr, de Géom. ( !•• Parlie). 8

Il4 GÉOMÉTRIE PLANE.

THÉORÈME