DC~MG 1VC"'MC

Ces proportions prouvent (185), la première que MD est la bissectrice de l'angle BMC, et la seconde que MD' est la bissectrice de l'angle adjacent supplémentaire. Or, les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rectangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d'un angle droit DMD' dont les deux côtés passent constamment par deux points fixes D et D'; tout point M (lu lieu est donc situé sur la circonférence décrite sur DD' comme diamètre.

Réciproquement, tout point M de cette circonférence DD' appartient au lieu.

En effet, B' étant le symétrique de B par rapport à la droite DM, désignons provisoirement par P le point où CB' rencontre DM; DP sera la bissectrice de l'angle BPC, et l'on aura

PB PB m PC "^ DC ~ /i '

Donc, le point P appartient au lieu; mais, comme tel, il est sur la circonférence DD' et, par suite, il coïncide avec M qui est le seul point, autre que D, commun à DM et à la circonférence DD'. Donc, M appartient au lieu.

188. Lorsque le rapport donné est égal à l'unité, D devient le milieu de BC et D' passe à l'infini (179); le cercle devient la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC (W).

§ ir. — UGNES PROPORTIONNELLES DANS LE CERCLE.

DÉFINITIONS

18î). On dit que deux droites, tracées entre les côtés d'un angle ou de son opposé par le sommet, sont anti-parallèles, lorsque la première fait avec l'un des côtés de l'angle donné un angle égal à celui que la seconde droite fait avec l'autre côté.

Ainsi, les deux droites DE et BC {fig. i43) sont anli-paral lèles par rapport à l'angle BAC, si l'angle ADE est égal à l'angle

Fig. i/|3.

ACB. Alors l'angle AED, que la première droite forme avec le second côté AC, est égal à l'angle ABC que la seconde droite fait avec le premier côté AB (76).

THËORÈME.

190. Lorsque les deux côtés d'un angle sont coupés par deux droites anti-parallèles ^ le produit des distances du sommet aux deux points où chacun des côtés est rencontré par les deux transversales est constant {Jig, î43).

Ainsi, BAC étant l'angle proposé et les deux droites BC et DE étant anii-parallèles, on a la relation