PRÉFACE. XXIX

Traité des sections coniques divisé en neuf livres, et qui eut une grande réputation dans I^Europe savante. Dans ce Traité» îl s*élève des propriétés du cercle, base du cône, aux propriétés analogues des sections de la surface par un plan tout à fait quelconque, et Ton peut^ à juste titre, regarder cet habile géomètre comme un continuateur de Pascal et de Desargues. Son Mémoire sur les épicycloïdes, sa théorie des roulettes et son Traité de Gnomonique méritent d'être rappelés. C'est à lui qu'on doit la théorie du pôle et de la polaire, dont Apollonius n'avait connu qu'un théorème, et la transformation homologique, qui, employée ensuite par Newton, a été retrouvée de nos jours d'une autre manière et développée avec un rare talent par Poncelet dans son beau Traité des propriétés projectiles des figures (*), où Ton trouve les applications les plus intéressantes et les plus variées de cette théorie.

En résumé, trois sortes de Géométrie s'offraient à cette époque aux méditations des savants : la Géométrie des anciens, la Géométrie analytique de Descartes, et une troisième espèce de Géométrie, celle de Desargues et de Pascal, qui devait prendre une si grande extension au xix* siècle et dont on rencontre déjà quelques principes dans les Porismes d'Euclide et les Collections de Pappus. a Cette troisième branche de la » Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons » la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques, >* quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations » métriques des figures que de leurs relations de situation ; » mais elle ne considère que des rapports de distances recti- '* lignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni » les opérations de l'Algèbre. Cette Géométrie est la conti- » nuation de V Analyse géométrique des anciens, sur laquelle

(*) Deutième édition, t865; aTol. ia-4*» *▼«« planchei, chei Gauthier- Vil lari.

PRÉPaGB* XXXI

Géométrie. Considérée comme simple doctrine géométrique, indépendamment de son utilité pratique, la Géométrie de Monge fut d'un immense secours dans l'étude des propriétés de rétendue. En familiarisant l'esprit avec la forme des corps, elle développa notre puissance de conception, éclaira la Géométrie analytique dont elle apprit à interpréter les résultats avec une grande facilité, et permit de raisonner, dans les cas les plus compliqués, sans le secours de ces figures qui, en absorbant l'attention, entravent la pensée. Elle montra l'alliance intime des figures planes et des figures de l'espace, et la science s'enrichit dès lors de ces méthodes élégantes et tant cultivées depuis qui permettent de déduire des propriétés des figures à trois dimensions les théorèmes de la Géométrie plane.

C'est encore à Monge et à son école qu'on doit l'introduction dans la Science d'un mode de démonstration qui, bien que manquant au fond de cette rigueur si justement recherchée des géomètres anciens, a cependant conduit à de magnifiques résultats. Nous voulons parler du principe des relations con-tingentes ou de continuité : « Certaines parties d'une figure, » considérées dans un état général de construction, peuvent » être indifféremment réelles ou imaginaires. Or il arrive D souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de » la réalité, à la démonstration d'un théorème, et que celte > démonstration n'a plus lieu quand ces mêmes parties de- » viennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu du principe de n continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend

• au second, et on l'énonce d'une manière générale. Quelque*

• fois le contraire a lieu, et c'est quand certaines parties d'une » figure sont imaginaires que l'on y trouve les éléments d'une 9 démonstration facile, dont on applique ensuite les consé- » quences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces

• mêmes parties sont réelles et où la démonstration n'existe

xxxti fbCfaci.

> plus (*]. ■ Tel a été le point de dépan de l'introduction des imaginaires en Géométrie; mais nous devons ajouter que celte, introduction si importante n'a été accomplie, d'une manière véritablement irréprochable, qu'un peu plus tard par M. Chasies, dont les démonstrations se distinguent par ce caractère spécial, que les objets susceptibles de devenir imaginaires n'y entrent pas sous forme explicite, mais y sont représentés par des éléments réels, de même que les racines d'une équation n'entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie analytique, mais y sont représentées collectivement par les coelticients de cette équation.

L'apparition de la Géométrie de Monge recula les bornes de la Géométrie pure, un peu délaissée depuis un siècle, et l'on chercha dès lors i obtenir par cette voie seule les nombreux résultats dont l'analyse de Descartes avait enrichi la Science. Parmi les ouvrages entrepris dans ce but et qu'on peut regarder comme l'heureuse continuation de ceux de Desargues et de Pascal, il faut citer au premier rang la Géométrie de position et VEssai ttir let transversales de Carnot, les Développements de Géométrie de Charles Dupin, et le grand Traité des Propriétés projectives des figures dans lequel Poncelet, par l'habile emploi du principe de continuité et la belle création des théories des polaires réciproques et des figures homologiques, a démontré toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second ordre, et a doté en outre la Science d'une foule de résultats nouveaux. Il convient de signaler encore les savants écrits de Hachette, Brianchon, Gergonne, Dandelin, Quetelet, les travaux de Gaultier, de Steiner et de Gudermann sur ta Géométrie de la sphère qu'avaient déjà cultivée Lexell, Fuss, LhuilUer de Genève et

(*) CfliiLEJ. Préface d« la Géomilrit tupérUHtr, iS^S.