AB "" AC "" BC

SCOLIE

199* La proposition énoncée subsiste lorsque la parallèle DE est située au-dessous de BC {fig. i5i), ou au-dessus de A (.AST* ï52). La démonstration est absolument la même dans le cas de \^Jig> i5i; et, dans le cas de la^?^. i5a, toute la différence consiste en ce que les angles AD£, ABC, ainsi que les angles AED, ACB, soni alternes-internes au lieu d'êlre correspondants.

THÉORÈME

200. Deux triangles ABC9 A'B'C, sont semblables: I® Lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun ; n? Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionn cls;

3" Lorsqu'ils ont les côtés proportionnels. 1® Supposons qu'on ait(yZg*. i53)

A=:A', B^ii'.

Prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur Al) égale à A'B', et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE

Fig. t53.

Py' ..\« Z

est semblable à ABC ( 198), et il suffit de démontrer l'égalité des triangles ADE, A' B'C.

Or, les angles A et A' sont égaux par hypothèse; Tanglc ADE est correspondant de Tangle ABC, qui, par hypothèse, est égal & B'; enfin, le côté AD est égal à A'B' par construction. Donc

les deux triangles ADE, A'B'C, sont égaux, comme ayani un côté égal adjacent à deux angles égaux, a® Supposons qu'on ait

prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AI) égale à A'B\ et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE est semblable au triangle ABC (.198), et il suffit de démontrer régalité des triangles ADE, A'B'C.

Or, la similitude des triangles ABC, ADE^ donne la proportion

AB AC ^") ÂD^ÂË'

qui a les mêmes numérateurs que la proportion (i); les dénominateurs AD et A'B' des deux premiers rapports étant en outre égaux par construction, il faut que AE = A'C'; les deux triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux.

3° Supposons qu'on ait