AB __ BC CA '^^ AD""DK""EA

qui présente les mêmes numérateurs que la série (i). Par suite, les dénominateurs AD, A'B', des deux premiers rapports étant égaux par construction, il faut qu'on ait aussi

DE -B'C, EAii^C'A';

les deux triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun.

UVnE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 125

Corollaires.

201. Deux triangles sont semblables, lorsqu'ils ont leurs côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires; car, dans Tun et l'autre cas, ces triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun (77).

202. Deux triangles rectangles sont semblables, lorsqu'ils ont un angle aigu égal.

Sgolies.

203. Il résulte du n® 200 que, dans les triangles, Végalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés, et réciproquement» Cette propriété fondamentale, dont la découverte est attribuées Thaïes (639-548 av. J.-C), ne subsiste pas pour des polygones quelconques. Par exemple, un carré et un rectangle ont leurs angles égaux, et cependant leurs côtés homologuais ne sont pas proportionnels. De même, un carré et un losange ont leurs côtés proportionnels, et cependant leurs angles ne sont pas égaux.

204. Le tableau, suivant, dans lequel nous avons réuni les cas d'égalité et les cas de similitude de deux triangles, en les faisant correspondre un à un, permet de comparer les deux

théories.

Deux triangles sont :

égaux, I semblables.

lorsqu'ils ont :

1' Deux angles égaux comprenant I i** Deux angles égaux; un côté égal ;

2* Un angle égal compris entre deux

côtés égaux ; 3"* Les trois côtés égaux.

:à° Un angle égal compris entre deux

côtés proportionnels ; 3*" Les trois côtés proportionnels.

On voit que chaque cas de similitude ne renferme que deux conditions, tandis que Tégalité en exige toujours trois.

203. 11 importe en outre de remarquer le mode uniforme de démonstration que nous avons adopté au n" 200. Le procédé consiste à prendre, sur un côté du premier triangle, a

ia6 GÉOMÉTRIE PLANK.

parlir du sommet, une longueur égale au côlé homologue du second; puis à mener, par le point ainsi déterminé, une parallèle à l'un des deux aulres côtés du premier triangle. On construit ainsi un triangle auxiliaire qui, d'après le lemme du n**198, est semblable au premier; et les conditions renfermées dans rh^pothèse permettent ensuite de démontrer aisément que ce triangle auxiliaire est égal au second triangle, en vertu du cas d'égalité qui correspond au cas de similitude que Ton étudie.

206. Enfln, il reste à montrer l'usage de cette théorie, c'està-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux triangles semblables satisfont à cinq conditions, et chaque cas de similitude comprend deux de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les cinq soient remplies. Par suite, quand, dans une certaine flgure, on aura reconnu la similitude de deux triangles par l'application de l'un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que les trois autres conditions sont remplies, et Ton aura acquis de cette manière de nouvelles données qui permettront d'aller plus loin.

207. Cherchons, par exemple, dans quel rapport se coupent deux médianes d'un triangle ABC, c'est-à-dire les droites AI) et B£ qui joignent deux sommets aux milieux des côtés respectivement opposés {fig' '54).

Fig. i54.

Soit G le point commun aux deux médianes AD, BE; la droite DE est parallèle à AB (183; ; par suite, les triangles DEC,

ABC sont semblables, ainsi que les triangles GED, AG6. D'ailleurs, £ étant le milieu de^ AC, le rapport de similitude des deux premiers triangles est {; donc ED est égale à la moitié de AB, et le rapport de similitude des seconds triangles est aussi â . On a donc

ou bien

DG=:}AG, GE=:iBG

DG = |AD, GE = iBE,

Ainsi, deux médianes quelconques se coupent en un point situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté quelle divise en deux parties égales.

Donc les trois médianes d'un triangle concourent en un même point.

THÉORÈME

208. Deux polygones, composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables [Jig, i55).

Kifr. l55.

Soient ABF. FBE. ERC, CED, et A'B'F, FB'E', E'B'C, C£'D', deux séries de triangles respectivement semblables ei semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé par les premiers triangles, est semblable au polygone A'B'C'D'Ë'r' que forment les seconds.

En effet :

I** Les angles des deux polygones sont égaux, soit comme

128 GÊ0MÉTR1£ PLANJi;.

angles homologues de deux triangles semblables, soit comme sommes d'angles homologues de plusieurs triangles semblables. Ainsi) les angles A et A' sont égaux comme angles homologues des deux triangles semblables BAF, B'A'F, tandis que l'angle B est égal à Tangle B' comme étant la somme des trois angles ABF, FB£, £BC> respectivement égaux aux trois angles A'B'F', F'B'E', E'B'C, qui composent Tangle B'.

2^ Les côtés homologues sont proportionnels, car on a successivement :

A cause des triangles semblables ABF, A'B'F',