AB'=BC.BD, ÂC'=BC.CD
on obtient
âbVâc'=bc(bd-4-cd) ou âbVâc=bcI
Corollaires.
225. Ce ihéorème permet de calculer l'un des côtés d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.
Si Ton connaît les deux côtés 6 et c de l'angle droit, l'hypoténuse a résulte de la formule
a'rr 6» + c*, d'où a = sjb^ -h c\
Ainsi, soient fc rr= 3, c = 4» o" a « = y/9 -t- ib z=.\li5 = 5.
Si Ton connaît l'hypoténuse a et l'un des côtés b de l'angle droit, on trouve l'autre côté c par la formule
c'=a'--6*, d'où c=z^a^— 0 .
Ainsi, pour a = 5 et 6 = 3, on a c= ^iS — 9 = v^i6 = 4-
11 résulte encore de la proposition précédente que fe rapport de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal
Fi(j. 163.
à yji, La diagonale AC est en effet l'hypoténuse d'un triangle rectangle et isocèle ABC [fig. 162), dans lequel on a
AC ~AB -MUC =2. Ali ,
d'où
Âc' AC '-
:r-TT = 2 et -^- = \/2.
AB
AB
Ainsi, la diagonale et le côté d'un carré sont deux droites incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un nombre incommensurable. C'est ce que nous avons déjà démontré par la Géométrie pure (139).
THÉORÈME
226. Dans tout triangle ^ le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres
l38 GÈOM^TRIIS PLANE.
côtés, moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier,
Fiff. i63.. Fig. ley
Soient ABC le triangle proposé, C un angle aigu et CD la projection du côté AC sur CB; il s'agit de démontrer la relation
AB = BC -r AC — îBC.CD.
Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendiculaire AD tombe à Tintérieur ou à Textérieur du triangle ABC; le premier cas a lieu lorsque Tangle ABC est aigu, et le second lorsque cet angle est obtus {h\).
Dans le premier cas (yîg'. i63], le triangle rectangle ABD donne
(i) AB =BD -4-AD .
Or, puisque le point D est, par hypothèse, situé entre C etB, on a
BD = BC-CD, et, par suite, d'après un théorème connu d'Arithmétique ('),
BD =BC -hCD -îiBC.CD.
En portant cette valeur de BD dans la relation (i), on trouve
AB'z=BGVcD'-f.ÂD'~2BC.CD; et,comme le triangle rectangle ACD donne
