CD -+- AD = AC
on a finalement
Âfi'r^ BCV ic'- îBC.CD.
( ' ) Le carré de la diflerence de deux nombres est éçAl au carré du premier nombre, plus le carré du second, moins le double produit de ces deux nombres.
LITRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. iSq
Dans le second cas [Jig, i63'), la démonstration est la même. Il est vrai que, au lieu de
BD = BC — CD, on a BD = CD — BC:
mais comme, en vertu du théorème d'Arithmétique cité, le carré de BD reste le même, et que c'est ce carré seul qui figure dans la démonstration, on voit que. tout le raisonnement
subsiste.
THÉORÈME
227. Si l'un des angles d'un triangle est obtus, le carré du côté opposé à cet angle est égal à la somme des cdrrés des deux autres côtés, plus deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier [Jig. i64).
Fig. 164
Soient ABC le triangle proposé, C l'angle obtus, et CD la projection de AC sur BC; il s'agit de démontrer la relation
AB' :^ BCV Âc' -+- aBC.CD.
Le triangle rectangle ABD donne
(i) ÂB'=BD'-hÂD'.
Or, puisque l'angle ACB est obtus, la perpendiculaire AD tombe hors du triangle ( 4b » et le point D est extérieur à BC ; on a donc
BD = BC -h CD,
et, par suite, en vertu d'un théorème connu d* Arithmétique (*],
Bd'= BCV CdV aBC.CD.
EosubstituantcettevaleurdeBD dansla relation (i), on trouve
AB : : BC ^-CD -h AD -h ^BC.CD;
(' ) Le earré de U tomme de deux nombres est égal lu carré du premier^ ptoe le earré du second, plus le double produit de ces deux nombres.
l4o GÉOMÉTRIE PLANE.
et, comme le triangle rectangle ACD donne
on a finalemeni
CD'-f-AD'=AC\
Ab'= BcV AC V 2BC.CD.
Corollaires.
228. 11 résulte des trois théorèmes précédents que, dans un triangle, le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres, suivant que l'angle opposé à ce côté est aigu, droit ou obtus; donc, réciproquement (7), un angle d'un triangle est aigu, droit ou obtus, suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur^ égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés.
Par exemple, si a=5y b = ^, c:=3, l'angle A est droit et le triangle est rectangle, puisque 25 = i6 -t- g. De même, si a = 11, 6 = 9, cz=8, l'angle A est aigu, puisque ii' ou 121 est moindre que g'-f- 8% c'est-à-dire que 81 4- 64 = ^^5.
229. Comme application des théorèmes qui précèdent, nous allons caU culer les hauteurs d'un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons par ABC le triangle considéré, et par a, b, r, les longueurs des côtés respectivement opposés aux angles A, B, C.
Cherchons la hauteur AD = h issue du sommet A. Des deux angles B et C, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit Tangle C (Jîg. i63'). On a»d'abord, dans le triangle rectangle ADC (225),
puis, dans le triangle ABC (226),
On déduit de là
et la première relation devient
4a' 4tf- '
LiYIlB m. — LES FIGURES SEMBLABLES. I^I
OU, en vertu d'un théorème d'Arithmétique ( ')
{n -^-h -^- rMn -\^ h — r)fr-4-/i — A)(r — n -^ h)
Or, si Ton désigne par p le demi-périmètre du triangle ABC, c'est-à-dire
si Ton pose
fl -+- 6 -h c = a/?,
on a
^ -H c — fl =s a/) — ao = 2(/? — fl),
û ^- ^ — c = 2/> — ac = a(p — c).
En portant ces valeurs dans Texpression de />', simplifiant et extrayant la racine carrée, on obtient
Exemple. Pour les hauteurs /i, h\ /i*, du triangle dont les côtés sont i3, 9 et G, on trouve, à i millième près,
THÉORÈME
280. La somme des carrés de deux côtés d'un triangle est égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième côté, plus deux fois le carré de la moitié de ce troisième côté (fig. i65).
Fiff. i65.
Soient ABC le triangle proposé» AD la médiane relative au côté BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC.
(* ) La difTérence det cirrét de deux nombres eêt égale au produit de la somme da cet deux nombres par l^r différence.
l4a GÉOHÉTRIB PLÀI^CE.
L'angle ADB étant aigu, on a, dans le triangle ADB,
AB'= Ad'h- BD*— aBD.DE.
L'angle ADC étant obtus» on a, dans le triangle ACI>«
AC =AD H-Ca) -+-2CD-DE.
En ajoutant ces deux égalités et en observant que CD = BD, on trouve
(i) AB'-+-Âc'=aÂDVaBi)*.
COHOLLAIHBS.
231. Considérons un quadrilatère ABCD [fig. 166], et soient Ë et F les
Fîg. 166.
milieux des deux diagonales AC et BD. En appliquant successivement le théorème qui précède aux triangles ABC et ADC, on a
AB -4-BC' = aÂi'-f-îiBË\ Cii'-f- Da'= aÂË'-f aDÊ';
d*où, en ajoutant et en désignant par S la somme des carrés des quatre côtés du quadrilatère,
S = 4ÂÊ'-4-a(BÊ'-i-DË*).
Or, dans le triangle BED, on a
BË'-h DÊ'= aBP'-h aÊF*.
Donc, enfin,
S = 4Âk'-+- 4BF'-4- 4Ëf'= ÂcV Bd'^ 4ËF'.
Ainsi, dans tout quadrilatère, la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales, plus quatre fois le carré de la droite qui unit les milieux de ces diagonales.
Pour que le quadrilatère soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les points E et F coïncident (83, 84). Donc, dans tout paraUélo-
LIVaK lU. — IJSS FIGORSS SEMBLABLES. l/|3
ffmmme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales, et réciproquement, si la somme des carrés des côtés d'un qtiodrilatère est égale à la somme des carrés des deux diagonales, ce t^aadrilatêre est un parallélogramme,
232. Revenons au triangle ABC (Jïg, i65). Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de manière que la somme des carrés des côtés AB et AG reste constante, la relation (i) du n* 230 montre que la valeur de la médiane AD restera constante. Donc, le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante est une circonjérence ayant pour centre le milieu de la droite qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour trouver le rayon AD de ce cercle, il
suffit de remplacer dans la relation (i) la somme AB + AC par la constante donnée K' ; on a ainsi successivement
K»=aAD -+-aBD , AD=~--BD, AD=4/^-BD.
Oïl voit que le lieu n'existe qu'autant que la condition
— >BD* ou K>BDv/â
cat satisfaite.
233. Enfm, comme dernière application du théorème précédent, nous calculerons les médianes d'un triangle en fonction des côtés. m étant la médiane relative au côté BC = âr, on a, par la relation (i),
6»-4-c'= am*-h af ^ j , d'où wi = -/at^^-h c*) — a*.
Exemple. Pour les médianes /n, m', m', du triangle dont les côtés sont i3, 9 et 6, on obtient, à i millième près,
//i = 4io3i, wi'= 9,069, /it'=io,770.
THÉORÈME
:234. La différence des carrés de deux côtés d'un triangle est égale au double produit du troisième côté par la projection de la médiane correspondante sur ce même côté.
Soit ABC le triangle proposé (fif^. i65}; reprenons les deux égalités
Âb' = AT)' -h BÏ)' - 2BD.de,
AC' = Âd' -r CD V tkCD.DE,
considérées au n"* 230, et retranchons la première de la seconde, en observant que BD = CD ; il viendra
AC — AB =4BD.DE ou AC — AB =2BC.DE.
COROLLAIBE.
235. Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de
façon que la différence AC t AB reste constante, la relation précédente prouve que la projection D£ de la médiane ne change pas , c'est-à-dire que la projection E du sommet mobile A sur la droite BC reste fixe. Donc,
le lieu des points A, doni la différence AC — AB des carrés des distances à deux points fixes C ^/ B est constante, est une droite perpendiculaire à la droite BC qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour avoir la valeur de DE, il suffit de remplacer dans la relation qui précède la dif-
férence AC — AB par la constante donnée K' ; on a ainsi successivement
K»=aBC.DE, DE =
