BC

THÉORÈME

236. Le produit de deux côtes d'u/i triangle est égal au produit des deux segments additifs que la bissectrice de leur angle détermine sur le troisième côté, augmenté du carré de cette bissectrice.

En effet, soient (fig. 167) ABC le triangle proposé, ACEBE' le cercle circonscrit, et AD la bissectrice de l'angle BAC qui passe évidemment pur

Fig, 167.

le milieu E de Tare BC ; les triangles ABB, ADC, ont deux angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle BAE égal à Tangle DÂC, puisque la droite AE est, par hypothèse, bissectrice de l'angle BAC, et les angles BEA, DCA, égaux entre eux comme inscrits dans le môme segment BECA.

Ces triangles sont donc semblables, et Ton a

AB AE AU ~ AC ou (193)

AB.AC = AK.AD = (AD -+- DE) AD = Âd'-t- DA.DE = Ad'-+- DB.DC.

237. En considérant la bissectrice AD' de Tangle extérieur CAF', qui (tasse évidemment par le milieu E' de Tare BAC, on déduirait de la similitude des triangles ACD', ABE\ la relation