J^, OB
ac
La première des proportions ( i ) et l'égalité évidente des angles OAC, BAD prouvent que les triangles OAC» BAD sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels ; on en conclut la relation
OC AC ., , ^^ xy BD = AD' ^^" 0C = -^.
Ainsiyfef trois côtés du triangle OBC ont respectivement pour valeurs
BC==i, 0B=^, 0C=:^,
et, par conséquent, sont proportionnels aux produits hd, acy xy. Donc, comme OC est moindre que OB + BC, on voit que dans un quadrilatère convexe quelconque le produit xy des diagonales est inférieur à la somme ac + bd des produits des côtés opposés. Pour qu'il soit égal à cette somme, il faut et il suffît que le côté BO soit le prolongement de CB, c'est-à-dire que Tangle ABO, et par suite son égal ADC, soit le supplément de ABC, ou enfin que le quadrilatère ABCD soit inscriptible.
Corollaires*
241. La démonstration qui précède suggère immédiatement le moyen de construire un quadrilatère convexe inscriptible connaissant les longueurs a, b, c, d des côtés et leur ordre de succession.
On portera sur une même droite à la suite Tune de Tautrc
ac des longueurs CB, BO respectivement égales à 6 et à -r; puis,
on aura le sommet A par l'intersection du cercle décrit du point B pour centre avec a pour rayon et du cercle, lieu des
l4^ GÉOMÉTRIE PLAKE.
points dont les distances aux points 0 et C sont dans le rapport
--— = -.• On connaîtra alors les trois côtés du triangle DAC, ce AC «
qui déterminera le point D.
11 y a deux points D ; mais on choisira celui qui est, par rapport à AC, du côté opposé à B. De même, il y a deux points A; mais ils sont symétriques par rapport à BC; il suffira donc de prendre Tun d'eux, l'autre donnant le même quadrilatère placé symétriquement par rapport à BC. Il y a donc une solution unique.
242. Si Tordre de succession des côtés n'était pas imposé, on trouverait trois quadrilatères distincts, suivant qu'on opposerait au côté 6, le côté c/, c ou a : à chacun de ces cas répondent, il est vrai, deux quadrilatères; mais ces deux quadrilatères sont égaux; ils ne diffèrent que parleur disposition symétrique par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu du côté b.
Lorsqu'on a l'un ABCD [Jig. 170) des trois quadrilatères, on obtient immédiatement les deux autres ABCD', BCDA', en prenant sur le cercle circonscrit au premier l'arc AD' égal à l'arc CD, et l'arc DA' égal à l'arc AB; les arcs BAD', CD A' étant égaux, leurs cordes BD', CA' sont égales, et, en désignant par z leur valeur commune, on voit que les trois quadrilatères ont respectivement pour diagonales x et/, j: et z, y et z. Le théorème ci-dessus (240] appliqué à chacun d'eux donne
[i) xy'=^ac-\'bd^ xz=:ad-h bc, xz = ab-h cd.
En divisant les deux dernières équations membre à membre » on obtient
X ad ~h hc
^ ^ y nb -\- cd
Donc : Dans tout quadrilatère inscriptible convexe, les diagonales sont entre elles comme les sommes des produits des côtés qui aboutissent à leurs extrémités,
La réciproque de cette proposition est vraie : en d'autres termes, si les diagonales et les côtés d'un quadrilatère convexe ABCD satisfont à la relation (3), le quadrilatère est inscriptible. En effet, soient Xx et/i les diagonales du quadrilatère inscriptible
LIVBB 111. — LES FIGURES SESIBLABLES. I^Q
AiB,CiDi quia ses côtés égaux à ceux du quadrilatère ABCD et disposés dans le même ordre; en vertu du théorème direct, le
rapport — sera égal au second membre de la relation (3]; on
aura donc
(4) J = fi
or, si Ton avait xC^Xy il en résulterait Bi>B et D,>D; d'ailleurs, on aurait aussi, en vertu de (4)> Ji^T"» et, par conséquenty A,>> A et Ci>> C; la somme des angles du quadrilatère AiB,CiDi remporterait donc sur celle des angles du quadrilatère ABCDy ce qui est absurde. On prouverait de même qu*on ne peut avoir x^<^x\ donc il y a égalité entre les diagonales X et jr,y et, par suite, entre les quadrilatères ABCD, AiBiCiD,; le quadrilatère ABCD est donc inscripUble.
Indiquons enfîn les valeurs des trois diagonales en fondioii des côtés : •
^ [ad '\-hc''\ac. -\hii\ ^ \ac -^ hd][nh -^ cd'
~ ab -^ cd ^ J cûi -\-hc
j__ U^^^ -^ càM nd -^ hc) ac 4- hd '
on les obtient en divisant le produit des trois équations (?) successivement par le carré de chacune d'elles.
SCOLIB.
243. Le théorème du n** 240 e§t attribué à Ptolémée qui; dans son j^lmageste. Ta donné comme lemme pour la construction (! une table de cordes. Il offre, en effet, le moyen de calculer la corde u de la somme de deux arcs en fonction des cordes c et c' de ces arcs et du diamètre à du cercle; les deux cordes et le diamètre qui passe par leur point commun forment deux côtés contigus et une diagonale d'un quadrilatère inscrit dont Tautre diagonale est la corde inconnue u, tandis que les deux
nuires côtés sont égaux à ^d'— c% ^o'—c'^; de là, en venu du théorème de Ptolémée, la relation
6u=^ c\o- — c'' -h c Vo' — C' , qui permet de calculer u.
l5o GÉOMÉTRIE TLA^E.
