Diviser une droite en moyenne et extrême raison

On dit qu'un point divise une droite AB en moyenne et extrême raison, lorsque sa distance à l'une des extrémités A

Fig. i8i.

de celle droite est moyenne proportionnelle entre sa distance à Taulre extrémité B et la droite AB.

On \oii a priori :

i"" Que, entre A et B, il existe un point X, et un seul, jouissant de la propriété énoncée. Car, de A en B, le rapport ^^^

XA

décroît d'une manière continue de l'infini à r, tandis que le

rapport r^ croît de zéro à Tinfini; ainsi, quand le point X se

meut de A en B, le premier rapport diminue, le second augmente, et comme le premier, d'abord supérieur au second, finit par devenir moindre, il y a entre A et B une position de X, et une seule, pour laquelle on a

(0 ^^ = ^5 ou XÂ*=AB.XB.

XA XJD

2" Que, sur le prolongement de AB à gauche du point A, il existe un point X', et un seul, jouissant de la propriété

AB

énoncée. Car, dans cette région, le rapport «^7-^ croît d'une

manière continue de zéro à l'infini, tandis que le rapport =^7-^

décroît de i à zéro; il y a donc à gauche de A une position

de X', et une seule, pour laquelle on a