X^^X^ ^" X'A=AB.X'B

3** Que sur le prolongement de AB à droite du point B, il ne peut exister aucun point jouissant de la propriété énoncée. Car la distance d'un point de cette région au point A, étani à la fois plus grande que la distance du point considéré au point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne proportionnelle entre ces deux longueurs.

Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il existe deux points X et X', et rien que deux, qui divisent la droite AB en moyenne et extrême raison : l'un X intérieur, et les deux segments correspondants XA, XB, sont alors additifs; Tautre X' extérieur, et les deux segments correspondants X'A, X'B, sont alors soustractifs.

Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trouver AX et AX'. Or, d*une part, si Ton retranche la relation (i^ de la relation (^ij, on a

X'A -XA =AB(X'B-XB), ou

(X'A-hXA)(VA-.XAj = AB(X'B-XB),

c'est-à-dire

XX'(X'A - XA) = AB.XX', et, par suite,