Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en dix parties égales par les points A, B, C, D, E, F, G, H, K, I.

En joignant les points de division consécutifs, on obtient le décagone régulier convexe ABCDEFGHKl; en joignant les points de division de trois en trois, on obtient le décagone régulier étoile ADGICFKBEH (270). 11 s'agit do construire les côtés AB et AD de ces deux décagones.

Fig. 191.

Or, en remarquant {Jig, 191) que le rayon BO prolongé passe

par le sommet G, on voit que Tangle AMB, dont le sommet est à Tintérieur du cercle, a pour mesure la moitié de l'arc AB, plus la moitié de l'arc GD, c'est-à-dire deux divisions de la circonférence. D'ailleurs, l'angle inscrit ABG a pour mesure la moitié de l'arc AG, c'est-à-dire encore deux divisions; l'angle au centre BOD a aussi cette même mesure. Les deux triangles AHB, DM0, sont donc isocèles, et l'on a

AM- AB, MD^ OD ou AD — AM^OD.

D*un autre côté, les angles OMA, DOA, étant égaux comme ayant l'un et l'autre pour mesure trois divisions, les droites OM et OD sont antiparallèles par rapport à l'angle OAD, et l'on a (192)

AD.AM^ ÂÔ'.

Les deux relations précédentes montrent que la recherclie des côtés AD et AB = AH revient à celle de deux lignes dont la différence est égale au rayon et dont le produit est égal au carré du rayon; on obtiendra donc ces deux côtés (259) en divisant le tajron en moyenne et extrême raison; le plus grand segment additif sera le côté du décagone régulier convexe, et le plus petit segment s^ustractif sera le côté du décagone régulier étoile.

Si R est le rayon du cercle, on aura (259)

AB=.R.^^!^ et AD. R.i^T-L.

Corollaires.

278. La circonférence étant divisée en dix parties égales, en joignant les points de division de deux en deux, on obtient le /7en//igfo/i« régulier convexe kCEGK; en les joignant de quatre en quatre, on trace le pentagone régulier étoile AEKCG

Pour calculer les côtés FD et FB [Jig, 193 ) du pentagone régulier convexe et du pentagone étoile, il suffit de remarquer que, si Ton mène le diamètre FA, les cordes AD et AB soni les côtés du décagone étoile et du décagone convexe. Or les

l8o GÊOHÉTRIK PLANE.

triangles rectangles FAD, FAB, donnent

FD:^V4"^ -ad\ FB .v/4R'-ab'

Fig. igi. Fig. 193.

d'où, en remplaçant AD et AB par leurs valeurs (277) ei rc~ duisant,

FD -^ - y/u) - 31/5, FB - : - )Jio -h 2 v5.

279. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier de 20 côtés, puis à celui de 4û,. . ., et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 5, 10, 20, 4<>»* - •» et, en général, de 5.2" côtes.

PROBLÈME

280. Inscrire un pentédécagone régulier dans un cercle donné (Jig. 194).

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en quinze parties égales par les points A, B, C, D, E, F. G, H, I, K, L, M, N, 0, P.

En joignant les points de division de i en i, de 2 en 2, de 4 en 4> de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du pentédécagone convexe et des trois pentédécagones étoiles.

Considérons les côtés AB et AE; Q étant le milieu de l'arc Cl), on a

arc AQ - f 2 n — \ -7. =^ r-'»

arcQB -: arcQE — ( 1 4- - ) -^ - — •

Donc, pour construire AB et A£» U suffit de porter, à partir du point A, une corde AQ égale au côté de l'hexagone, puis a

partir de Q, et de part et d'autre de ce point, une corde QB — QE égale au côté du décagone convexe.

Pour calculer AB et AE, abaissons du point Q les perpendiculaires QSet QT sur ces côtés; l'égalité des triangles recungles QAS et QAT, qui ont l'hypoténuse commune et un angle aigu égal QAS ^ QAT, donne

AS=AT, QSr^^ QT;

puis, de l'égalité des triangles rectangles BQS, TQE, qui ont rhypoténuse égale et un côté égal, on déduit

ET:. BS.

On a donc

AB r AS ~ BS et AE 1= AT -f TE -. AS -\- BS.

Mais QS n'est autre que la moitié du côlé du décagone convexe, puisque AQ est égal au rayon et que, Tare BQ étant le dixième de la circonférence, l'angle inscrit BAQ est la moitié de l'angle au centre du décagone convexe ; on a donc

par suite,