QS-?(V

AS r v/ÂQ' — QS' r ; ^ V^-*-^V5.

BS ::- V^BQ' - QS' ■-■-■- J i^- \/ï)-

iSa GÉOMÉTRIE PLANE.

On aura donc, d'après les relations ci-dessus,

AB = 7 (Vio 4- 2 V5 -4- \/3 — i/TS),

AE r^ j (Vio-4-av^5 — \/3 -H v'Tô).

On verra de même que, X étant le milieu de ML, AX est le côté du décagone étoile et XO = XI le côté de l'iiexagone, ce qui permettra de construire et de calculer d'une manière analogue les côtés AO et AI des deux autres pentédécagones étoiles. En remarquant que XY est la moitié du côté du décagone étoile, on trouve

AO := J {)/T5 -4- s/3 - VIO -2^5), Al — ^ (v^T5 H- v^ -}- v/io-a^s).

281. Du pentédécagone convexe, on passe au polygone dp 3o côtés, puis à celui de 6o, . . . , et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-lendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de i5, 3o, 6o, 120,. . ., et en général de 3.5. a" côtés.

PROBLÈME

282. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle donnée calculer le côté du polygone régulier inscrit d*un nombre de côtés double [fig* 19$ )•

Soient AB ::= a le côté donné et R le rayon du cercle;

LITRE III. — LRS FIGURES SEMBLABLES. lS3

CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AC sera le côté cherché, que nous désignerons par a'.

La corde AC est moyenne proportionnelle entre le diamètre CD et sa projection CE = OC — OE sur ce diamètre; en a donc

a' := aR(R - OE) =^ R(2R - aOEj.

Mais le triangle rectangle AEO donne

OE = V^AO' - ÀÊ' ou OE ^ i/r' - ^ rir i v/4 h^~ a'.

Od a donc finalement

En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a

On peut donner à cette relation une autre forme plus commode pour le calcul numérique. Le produit de la somme

a 4- ^4 "~ û*» P*** '3 différence a — y^4 ^ «S ©st égal à la différence des carrés de a et de ^^4 — ^S c'est-à-dire à

Par suite, on a

et enRn

a'Tr.

SCOLIB.

283. En partant d'un polygone dont on connaît le cAté, on pourra, par l'application répétée de la formule (3), calculer successivement les côtés, et par suite les périmètres des polygones réguliers Inscrits de an, i^n^ 8n, 1611,. . . côtés, n étant le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats

que l'on obtient en partant, soit du carré dont le côté est v^

l84 GÉOMÉTRIE PLANE.

dans le cercle de rayon i, soit de Thexagone dont le côté est I :

Kombre dei odtés. Deml-pérlmètres.

16 3,iai44

Sa 3, 13654

ia8 3,14127

! XoDibro dM côlét. Deml'pérlmèlres.

la 3,io58a

96 3, i4io3

Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins d'une unité du cinquième ordre décimal.

PROBLÈME

284. Connaissant le côté d'un poljrgone régulier inscrit, calculer le côté du poljrgone régulier circonscrit semblable

Fig. 196,

Soient AB= /z le côté donné et R le rayon du cercle; menons la tangente CD au milieu F de l'arc AB et prolongeons-la jusqu'aux points C et D, où elle rencontre les rayons OA et OB prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par a.

Les triangles semblables AOE, COF, donnent .

CF OF AË U£

maison a (282)