PREFACE

Les idées d'étendue, de situation et de forme sont aussi anciennes que i'iiomme. On attribue aux Égyptiens et aux Chaidéens le premier essai de coordination de ces idées. Hérodote explique comme il suit la naissance de la Géométrie ,«nÉgypie.

« Les prêtres me dirent encore que Sésostris fit le partage des terres, assignant à chaque Égyptien une portion égale et quarrée, qu'on lirait au sort, à la charge néanmoins de lui payer tous les ans une certaine redevance qui composait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait à quelqu'un une portion de son lot, il allait trouver Sésostris pour lui exposer l'accident, et le Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour mesurer de combien l'héritage était diminué, afin de ne faire payer la redevance convenue qu'à proportion du fonds qui restait. Voilà, je crois, l'origine de la Géométrie qui a passé de ce pays à la Grèce (' ). »

Il est possible que Sésostris ait applifjué, le premier, l'Arpentage des terres à la juste répartition des impôts; mais cela même prouve que les principes de la Géométrie étaient connus sans doute longtemps avant lui.

Quoi qu'il en soit, cette Science fut introduite chez les Grecs par le Phénicien Thaïes (639-548 av. J.-C). Instruit en Egypte,

(') Hlbodute, Livre II, @ CIX.

il apprit, dit-on, à ses maîtres à mesurer la hauteur des pyramides de Memphis par l'étendue de leurs ombres, et revint fonder à Miiet l'Écoie ionienne, pépinière de philosophes et de savants. On lui attribue l'emploi de la circonférence de cercle pour la mesure des angles, et c'est à lui qu'on fait remonter la théorie des Triangles semblables. II répandit d'ailleurs le premier en Grèce les connaissances astronomiques qu'il avait sans doute puisées en Egypte.

Thaiês eut pour disciple Pylliagore de Samos (58o av. J.-C), qui, après avoir voyagé en Egypte et dans les Indes, vint fonder en Italie l'École célèbre qui porte son nom.

Pylhagore restera immortel, surtout par la proposition du carré de l'hypoténuse. li en lira la conséquence relative à l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, et lui ou ses élèves en déduisirent plusieurs propriétés générales des lignes incommensurables entre elles. Parmi les résultats qui semblent dus à Pythagore, on peut encore citer la propriété du cercle ou de la sphère d'être maximum parmi les figures de même périmètre ou de même aire, et la première théorie des corps réguliers qui devaient jouer un si grand rôle dans les rêveries cosmogoniques de l'antiquité et du moyen âge.

Remarquons que, dans la longue suite des philosophes grecs, qui s'élend depuis Thaïes et Pythagore jusqu'à la fin de l'École d'Alexandrie (638 ap. J.-C), presque tous ont cultivé à la fois l'Astronomie et la Géométrie qu'ils regardaient comme la Science primordiale, fondement detoutes les autres. C'est à eux qu'on doit ainsi la création à peu près entière de ce que nous appelons actuellement la Géométrie élémentaire. A cette époque, on ne séparait pas la Science de la Philosophie et, après un trop long intervalle, on revient aujourd'hui de plus en plus k cette alliance nécessaire.

PREFACE. xvn

L'essor de la Géométrie en Grèce date surtout de Platon {43o-347 avant J.-C. ). Ce grand homme alla d'abord s'instruire près des prêtres égyptiens; puis, en Italie, auprès des Pythagoriciens. De retour à Athènes, il introduisit dans la Science la méthode analytique, la théorie des sections coniques et la doctrine si féconde des lieux géométriques. C'était créer une Géométrie nouvelle, à laquelle on donna à cette époque le nom de Géométrie transcendante. Telle fut, en Mathématiques, l'œuvre magnifique de l'illustre Philosophe, chef du Lycée, qui inscrivit sur ia porte de son Écoie : « Que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre. »

La doctrine des lieux géométriques fut appliquée dès ce temps, avec une très grande ingéniosité, aux problèmes fameux de la dupUcation du cube, des deux moyennes proportionnelles et de la trisection de l'angle. La difliculté de ces questions tenait à ce qu'on ne voulait les résoudre qu'à l'aide de ia règle et du compas. On fut obligé d'y renoncer el de se servir d'autres lignes que la ligne droite et le cercle.

Les successeurs de Platon et de ses disciples étudièrent avec ardeur les sections coniques, dont Platon avait trouvé plusieurs propriétés. Ces célèbres courbes, qui devaient, deux mille ans plus tard, tenir tant de place dans la Philosophie naturelle, lors des superbes découvertes astronomiques de Kepler et de Newton, furent donc complètement connues des Grecs. De même que Platon avait rencontré les coniques, courbes du deuxième degré, en examinant les sections d'un cône par un plan, Perseus forma ses lignes spiriques, courbes du quatrième degré, en coupant un tore par un plan. Nous devons regretter la perte des écrits de Perseus à ce sujet, traité par lui géométriquement et qui exige encore aujourd'hui, au point de vue analytique, un calcul assez complexe. Nous ne mentionnons ici les spiriques que pour montrer que les an-

ciens ont pénétré, beaucoup plus avant qu'on ne pourrait le croire au premier abord, dans i'élude de la Géométrie.

En rassemblant les découvertes de ses devanciers et les siennes propres, Euclide {285 av. J.-C.) prépara celles de ses successeurs. Ce g;éomèli'e, qui établit le lien entre l'École Platonicienne et l'École d'Alexandrie, est surtout connu par ses Éléments où l'on voit apparaître, pour la première fois, la mélbode de réduction à l'absurde. Toutefois, il avait écrit d'autres Ouvrages qui ne nous sont point parvenus et dont le plus profond était sans doute ce fameux Traité des Porismes, dont la divination, après avoir exercé vainement la sagacité des meilleurs esprits des siècles derniers, a été si heureusement accomplie par M. Chasies, d'après un passage obscur et quelques lemmes de Pappus.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que les Éléments d'Euclide. Ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans toutes les Écoles de Mathématiques : on les suit encore en Angle terre. Ils sont divisés en treizeLivres, dont les six premiers et les trois derniers appartiennent à la Géomélne;les quatre autres se rapportent au calcul des grandeurs. On ne trouve pas dans les Éléments la mesure de la circonférence de cercle : cette découverte capitale était réservée h Archimède.

Les anciens géomètres cherchaient à mettre une extrême rigueur dans leurs démonstrations. Par cela même, celles d'Euclide sont quelquefois longues, indirectes et compliquées pour les commençants. Aussi, Ptolémée Philadelpbe, roi d'Egypte, dont il fut le maître, lui demanda-t-il un jour d'aplanir un peu en sa faveur les difficultés de la route. « Seigneur, luiréponditEuc1icle,iln'yapasenGéomélrie de chemin particulier pour les rois, a

Immédia lement après EucHde, Archimède et Apollonius marquèrenl l'apogée de la Géométrie chez les anciens. Toutes les branches des Mathématiques conservent les traces ineiîaçables de leurs sublimes conceptions.

Les travaux d'Archimède (287-212 av. J.-C), le plus grand mathématicien de l'antiquité, se rapportent spécialement à la Géométrie de la mesure.

En trouvant le rapport de la circonférence au diamètre et en effectuant de deux manières différentes ta quadrature de la parabole, le géomètre de Syracuse donna les premiers exemples d'un problème résolu par approximation et de l'évaluation rigoureuse d'une aire à contour curviligne.

Le Traité des spirales, la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit, la cubature des sphéroïdes (ellipsoïdes de révolution) et des conoïdes [paraboloïdes et hyperbolo'Tdes de révolution), sans oublier dans un autre domaine le principe du levier, la notion du centre de gravité et l'équilibre des corps flottants ou plongés dans les liquides, sont autant d'inventions ou de découvertes capitales de ce génie créateur, auquel la Statique doit autant que la Géométrie.

La marche suivie par Archimède, pour démontrer des vérités mathématiques si nouvelles, constitue la Méthode d'exhaustion dans laquelle la Méthode des limites se trouve

en germe.

Veut-il, par exemple, chercher l'aire enfermée par une courbe, il regarde celte courbe comme la limite dont s'approchent de plus en plus des polygones inscrits et circonscrits, quand on multiplie par bissection le nombre de leurs côtés, de manière que la différence tombe au-dessous de toute quantité dpnnée. Il épuise, pour ainsi dire, cette différence, d'ouest venu le nom de la méthode. Une fois le résultat obtenu par voie de rapprochements successifs et par induction finale, Ar-

chimède revient a la méthode par l'absurde, pour l'établir en toute rigueur.

Le tombeau de ce prodigieux génie, oublié par les descendants de ceux qu'il avait si merveilleusement défendus contre les Romains, fut retrouvé deux cents ans après sa mort, caché sous les ronces, dans une campagne voisine de Syracuse : il portail gravés, selon le vœu du géomètre, le dessin de la sphère inscrite au cylindre et six vers grecs qui rappelaient sa découverte. Ces vestiges permirent à Cicéron, alors questeur en Sicile, de le retrouver après bien des recherches, et de ramener une seconde fois, comme il le dit, Jrchimède à la lumière.

Les écrits d'Apollonius (347 av. J.-C, ) sont surtout relatifs à la Géométrie de la forme. Le principal semble le grand Traité des Coniques, qui valut à son auteur le surnom de Géomètre par excellence, et où l'on trouve les propriétés des asymptotes, des foyers, des diamètres conjugués, des normales, un théorème sur la polaire, la première idée des développées, et de belles questions de maximum et de minimum qui renferment tout ce que les méthodes analytiques actuelles nous enseignent sur ce sujet.

On attribue encore à Apollonius ia célèbre théorie des épicycles, qui servaient à expliquer les mouvements apparents des planètes.

Le grand Traité des Coniques était divisé en huit Livres. Les quatre premiers sont arrivés jusqu'à nous en grec, c'est-à-dire dans le texte original ; nous ne connaissons les trois suivants que par une traduction arabe qui date du milieu du treizième siècle et qui fut elle-même mise en latin vers i65o ; le huitième Livre est perdu. Le célèbre astronome Halley, par un effort de divination, a restitué ce huitième Livre d'après le plan d'Apollonius, et a publié à Oxford, en 1710, une magnifique édition du

Traité ainsi complété. C'est dans le septième Livre qu'Apollonius démontre les théorèmes importants qui portent son nom et qui lient les diamètres conjugués aux axes dans l'ellipse et dans rhyperboie.

Ajoutons que ce fut lui qui, le premier, considéra les coniques sur un cône oblique à base circulaire, le plan sécant étant perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et la hauteur du cône. On ne les avait étudiées jusque-là que sur le cône de révolution, et encore, en supposant le plan sécant perpendiculaire à l'une des génératrices du cône : on était ainsi obligé de prendre trois cônes d'angle différent pour obtenir les trois sections coniques, qui ne reçurent les noms sous lesquels nous les désignons aujourd'hui que dans l'Ouvrage de l'émule d'Archimède.

Les successeurs de ces deux hommes de génie dirigèrent leurs méditations vers l'Astronomie et vers les parties de la Géométrie qui se rattachent à celte Science. Nous nous contenterons de mentionner les principaux.

Hipparque (i5o av. J,-C.), le plus grand astronome de l'antiquité, fut le véritable fondateur de l'Astronomie mathématique, l'inventeur de la Trigonométrie rectiligne ei sphérique. C'est à lui qu'on doit très probablement faire remonter la découverte de la projection stéréographique, ainsi que celle des propriétés des transversales dans les triangles rectilignes ou sphériques, qu'on attribue parfois à Ptolémée, bien qu'on les trouve déjà dans Ménélaus.

Le Traité des Sphériques de Théodose [loo av. J.-C. },où ce géomètre étudie diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, a eu beaucoup de réputation et peut être regardé comme une sorte d'introduction à la Trigonométrie sphérique.

Ménélaus (80 ap. J.-C), géomètre et astronome, publia aussi un Ouvrage portant le même titre que celui de Théodose,

mais allant plus loin puisqu'il iraile spécialement des propriétés des triangles sphériques.

La plus importante proposition des Sphériques de Ménélaûa est celle qui concerne les six segments déterminés sur les trois côtés d'un triangle sphérique par un arc de grand cercle quelconque. Ménélaus emploie comme lemme, pour sa démonstration, le théorème analogue de Géométrie plane dont Camot a fait, de nos jours, le fondement de sa théorie des transversales.

Ptolémée [ia5 ap. i.-G.), astronome et géomètre du plus grand savoir, nous a laissé, dans son Jlmageste, le seul Traité de Trigonométrie rectilîgne et sphérique que nous aient légué les Grecs, puisque les écrits d'Hipparque sur ce sujet ont été perdus. Il établit sa Trigonométrie sphérique sur le théorème des six segments, qu'il donne comme Ménélaus. On trouve, entre autres, dans X'Àlmageste, la belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle, par laquelle le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

Citons encore, de" Ptolémée, son Optique et un Traité des trois dimensions des corps, où, le premier sans doute, il parle des trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie analytique rapporte aujourd'hui le plus souvent la position d'un point quelconque dans l'espace.

Nous devons nommer avec honneur Pappus (385 ap. J.-C), le plus célèbre commentateur des Ouvrages de l'École grecque qui s'était développée à Alexandrie, esprit original et profond dont Descartes faisait grand cas.

Ses précieuses Collections mathématiques représentent à peu près l'étal de la Science à cette époque. Elles étaient divisées en huit Livres : les deux premiers ne sont pas parvenus jusqu'à nous; les autres renferment surtout des questions de Géométrie, mais l'Astronomie et la Mécanique n'y sont pas

oubliées. On y trouve la fameuse règle connue sous' le nom de Théorème de Guldin, qui fait intervenir le centre de gravité d'une ligne ou d'une surface dans la mesure de l'aire ou du volume de révolution correspondant. Celte proposition, retrouvée par Guldin au commencement du xvn° siècle, semble appartenir à Pappus. La préface du septième Livre renferme une définition précise de X'anulyse et de la synthèse, et le géomètre alexandrin donne ensuite des exemples de ces deux méthodes appliquées tour à tour à une même question. On voit, par les problèmes qu'il résout, que les anciens s'étaient livrés d'une manière assez approfondie à l'étude des surfaces courbes el des lignes à double courbure tracées sur ces surfaces. Enfin, on rencontre dans les Collections la propriété fondamentale du rapport anharmonique, le germe de la théorie de l'involution, un cas particulier de la belle propriété de l'hexagone inscrit dans une conique et la notion de la directrice dans ces courbes, qui avait échappé à Apollonius.

La Géométrie dite moderne a donc ses racines dans l'antiquité, et ses progrès eussent été bien plus rapides sans l'arrêt imposé aux sciences par les bouleversements et les transformations qui suivirent la décadence et la chute de l'empire romain.

L'École d'Alexandrie, après Pappus, fut encore prolongée par Serenus ; par Dioclès, inventeur de la cissoïde ; par Proclus, philosophe célèbre, qui cultiva les Mathématiques et dont nous avons un commentaire curieux sur le premier Livre d'Euclide. Mais elle avait déjà perdu tout son éclat lors de la conquête arabe (638 ap. J.-C.)- Au vm* siècle, et surtout au ix', l'école de Bagdad compta quelques commentateurs habiles des Ouvrages grecs échappés aux désastres successifs de la bibliothèque d'Alexandrie ; mais, en Europe, mille ans s'écoulèrent dans une profonde stagnation, et ce n'est que vers le

milieu du svi' siècle que la Géoniéirie, suivant le mouvemenl général des Lettres, des Sciences et des Arts, se ranima.

Pourêtrejuste enversles Arabes, il fautcependanl reconnaître que ta Trigonométrie leur doit la forme simple et commode sous laquelle nous l'appliquons. Par la substitution des sinus aux cordes des arcs doubles qu'on employait auparavant, ils abrégèrent notablement les calculs.

Dès le commencement de la Renaissance, le fil fui enfin renoué, la tradition reconstituée, et l'ancienne Géométrie cultivée en Europe avec succès. La plupart des Ouvrages laissés par les géomètres grecs furent traduits en latin ou en italien. L'étude des langues anciennes, alors fort répandue, multipliait les moyens d'instruction.

Notre compatriote Viète (i54o-i6o3), en inventant l'Algèbre dont il fut le véritable créateur, compléta la Méthode analytique de Platon qu'il introduisit ainsi dans fa science des nombres- Il eut encore la gloire d'appliquer le même algorithme à la Géométrie. Par sa construction graphique des équations du deuxième et du troisième degré, il fil un premier pas dans la voie féconde, qui devait, en unissant intimement l'Algèbre et la Géométrie, conduire aux grandes découvertes de Descartes et mettre en notre possession la clé universelle des Mathématiques.

Très versé aussi dans la Géométrie des anciens, Viète restitua le traité perdu d'Apollonius, De Tactionilms [des contacts), sous le litre A' Apollonius Gaîlus. C'est là qu'il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés, problème difficile alors, mais dont les méthodes modernes ont ofîert des solutions plus élégantes et plus simples. Il perfectionna en outre, de la manière la plus utile, la Trigonométrie spiiérique, en résolvant notamment quelques cas nouveaux des triangles sphériques qui n'avaient point reçu d'application

PRËFiVCI!. ■'IV

en Asironomie, par exemple celui où l'on doit trouver un angle connaissant les trois côtés.

On remarque, dans la Trigonométrie de Viète, une idée neuve et très heureuse sur la transformation des triangles sphériques. Le triangle réciproque considéré par Vièle conduisit, sans nul doute, le célèbre Snellius à la découverte du triangle polaire ou supplémentaire, première apparition dans la Science (1629) de la loi générale de dualité de l'étendue que M. Ciiasles devait, plus de deux siècles après, mettre en pleine lumière.

C'est au grand Kepler (i57i-i63i] qu'on doit l'introduction de l'idée de l'infini en Géométrie. Il put, par son aide, généraliser les recherches d'Archimède sur la cubalure des sphéroïdes et des conoîdes, eu faisant tourner la conique autour d'une droite située dans son plan. Il faut encore ajouter à l'actif en Géométrie du fondateur de l'Astronomie moderne la doctrine des polygones étoiles (retrouvée de nos jours par Poinsot), et sa belle méthode des projections pour déterminer, par une construction graphique et près de deux cents ans avant l'invention de Monge, les circonstances des éclipses de Soleil pour les habitants des différentes régions terrestres.

Quelques années après Kepler, Cavallerî (1598-1647) donna sa Géométrie des indivisibles, où il montrait, comme l'illuslre astronome, à évaluer les grandeurs géométriques par leurs éléments. La méthode de Cavalleri, qui a suppléé pendant cinquante ans au Calcul intégral, n'est, comme il l'a fait voir luimême, qu'une transformation heureuse de la méthode d'exliaustion, si habilement appliquée par Archimède.

Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), à son tour, mais d'une manière qui lui était propre, appliqua, comme Cavalleri elRoberval, la méthode d'exhaustîon d'Archimède aux quadratures curvilignes. Il a mérité par là d'être regardé, lui aussi.

XXVI NOTIONS niSTOBIQUES.

pour tes commençants. Aussi, Ptolémée Philadelphe, roi d'Egypte, dont il fut le maître, lui demanda-t-il un jour d'aplanir un,peu en sa faveur les difficultés delà roule. «Seigneur, lui répondit Euclide, il n'y a pas en Géométrie de chemin particulier pour les rois, ■>

Immédiatement après Euclide, Arcliimède et Apollonius marquèrent l'apogée de la Géométrie chez les anciens. Toutes les branches des Mathématiques conservent les traces ineffaçables de leurs sublimes conceptions.

Les travaux d'Archimède (387-212 av. J.-C,)> le plus grand mathématicien de l'antiquité, se rapportent spécialement à la Géométrie de la mesure.

En trouvant le rapport de la circonférence au diamètre et en effectuant de deux manières différentes la quadrature de la parabole, le géomètre de Syracuse donna les premiers exemples d'un problème résolu par approximation et de l'évaluation rigoureuse d'une aire à contour curviligne.

Le Traité des spirales, la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit, la cubature des sphéroïdes {ellipsoïdes de révolution) et des conoides (paraboloïdes et byperboloïdes do révolution), sans oublier dans le même domaine le principe du levier, la notion du centre de gravité et l'équilibre des corps flottants ou plongés dans les liquides, sont autant d'inventions ou de découvertes capitales de ce génie créateur, auquel la Statistique doit autant que la Géométrie.

La marche suivie par Archimède, pour démontrer des vérités mathématiques si nouvelles, constitue la Méthode d'exhauslion dans laquelle la Méthode des limites se trouve en germe.

Veut-il, par exemple, chercher l'aire enfermée par une courbe, il regarde celte courbe comme la limite dont s'approchent de plus en plus des polyg;ones inscrits et circon-

NOTIONS HISTOIUQLKS. XXVII

scrits, quand on multiplie par bissecLion !e nombre de leurs côtés, de manière que la différence tombe au-dessous de toute quantité donnée. Il épuise, pour ainsi dire, cette différence, d'où est venu le nom de la méthode. Une fois le résultat obtenu par voie de rapprochements successifs et par induction finale, Archimède revient à la méthode par l'absurde, pour l'établir en toute rigueur.

On sait que les merveilleuses inventions du grand Géomètre ne purent empêcher S^vracuse de tomber par surprise aux mains de Marcellus, et que, malgré les ordres de ce général, Archimède périt victime de l'ignorance et de la brutalité d'un soldat. Le tombeau de ce prodigieux génie, oublié par les descendants de ceux qu'il avait défendus contre les Romains, fut retrouvé deux ccjUs ans après sa mort, caché sous les ronces, dans une campagne voisine de Syracuse : il portait gravés, selon le vœu du géomèlrc, le dessin de la sphère inscrite au cylindre et six vers grecs qui rappelaient sa découverte. Ces vestiges permirent à Gicéron, alors questeur en Gicile, de le retrouver après hien des recherches, et de ramener une seconde J'ois, comme il le dit, Archimède à la lumière.

Né à Perge, en Pamphylie, Apollonius était de 4' ans plus jeune qu'Archimède; il vient à Alexandrie sous le règne de PloléméePhilopator, Ses écrits sont surtout relatifs à la Géométrie de la forme. Le principal est le grand Traité des Co' niques, qui valut à son auteur, de la part de ses contemporains, le surnom de Géomètre pai excellence. On y trouve les propriété des asymptotes, des foyers, des diamètres conjugués, des normales, de la polaire et du système de deux coniques; citons encore la première idée des développées, et de belles questions de matinium et de minimum qui ren-

R et DE C - 7-r dt Géom. ( 1" PaHic ) d

démonslralions qui convenaient à la fois aux trois espèces de coniques, maigre la différence de forme de ces lignes. Il découvrit la propriété involutive du quadrilatère inscrit dans une conique, la propriété fondamentale des triangles homologîques, et écrivit avec le même talent et le même esprit de généralisation sur la Coupe des pierres, la Gnomonique et la Perspective.

Placés au point de vue de la Géométrie proprement dite, nous devons seulement mentionner la création de la Géométrie analytique par Descartes (1637). L'avènement de cette nouvelle doctrine, si séduisante par son caractère d'universalité, si facilement féconde, et dont on ne trouve aucun germe dans les écrits des anciens, fut une véritable révolution. Le grand philosophe, par cette admirable conception de VJppUcationde l'Jlgèbre à la théorie des courbes, put franchir des obstacles ■qui avaient arrêté les plus profonds géomètres, et changea ta face des sciences mathématiques. On le suivit avec enthousiasme, et un coup funeste fut porté à la Géométrie pure.

Cependant, quelques esprits éminents s'opposèrent à cette décadence, et soutinrent dignement l'honneur des méthodes anciennes. Nous citerons surtout Huygens (1629-1695) et de laHire(i64o-i7i8).

Huygens, que Newton proclamait le plus excellent imitateur des anciens, et que Leîbnitz plaçait au premier rang parmi les hommes de son siècle, créa la théorie des développées et découvrît les lois de la force centrifuge. Son célèbre Traité, De horologio oscillatorio, est l'indispensable introduction des Principesde Newton, et se place tout à côté dans l'histoire des grandes conceptions de l'esprit humain. Il faut en dire autant du Traité de la Lumière de l'illustre Hollandais, à qui l'on doit la théorie des ondes.

Le principal ouvrage publié par de la Hire est un grand

Traité des sections coniques divisé en neuf livres, et qui eut une grande réputation dans l'Europe savante. Dans ce Traité, il s'élève des propriétés du cercle, base du cône, aux propriétés analogues des sections de la surface par un plan tout à fait quelconque, et l'on peut, à juste titre, regarder cet habile géomètre comme un continuateur de Pascal et de Desargues. Son Mémoire sur les épicycloïdes, sa théorie des roulettes et son Traité de Gnomonique méritent d'être rappelés. C'est à lui qu'on doit la théorie du pôle et de ta polaire, dont Apollonius n'avait connu qu'un théorème, et la transformation homologique, qui, employée ensuite par Newton, a été retrouvée de nos jours d'une autre manière etdéveloppée avec un rare talent par Poncelet dans son beau Traité des propriétés pmjecCives des Jîf- ares (*), où l'on trouve les applications les plus intéressantes et les plus variées de celte théorie.

En résumé, trois sortes de Géométrie s'offraient à celte époque aux méditations des savants : la Géométrie des anciens, la Géométrie analytique de Descartes, et une troisième espèce de Géométrie, celle de Desargues et de Pascal, qui devait prendre une si grande extension au xix' siècle et dont on rencontre déjà quelques principes dans les Porismes d'EucUde et les Collections de Pappus. a Celle troisième branche de la » Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons ■ la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques, " quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations » métriques des figures que de leurs relations de situation ; " mais elle ne considère que des rapports de distances recli- * lignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles lii u les opérations de l'Algèbre. Cette Géomélrie esi la coniie l'Analyse géométrique des anciens, sur laquelle

, [865i avol, in-4°,nTeopIancbes, chez Gaulhi ep- Vil tara.

» elle offre d'immenses avantages par la généralilé, l'unifoiv » mité et l'abstraction de ses mélhodes, et par l'usage si utile " de la contemplation des figures à trois dimensions dans les 1^ simples questions de Géométrie plane ['). "

La découverte du Calcul infinitésimal a la fin du ivii' siècle arrêta à son tour les progrès de la Géométrie. Cette sublime invention, qui suffirait seule pour immortaliser les noms de Newton et de Leibnitz, s'appliqua avec une si grande facilité à la Géométrie des mesures et à l'étude des phénomènes naturels, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des travaux des plus illustres géomètres. Toutefois la chaîne ne fut pas entièrement rompue. Newton lui-même, donnant l'exemple, prouva, dans ses admirables Principes de la Philosophie naturelle, que la Géométrie pure se prête aux recherches de l'ordre le plus élevé. Cotes (1682- 1716] et Maclaurin [rëgS-f^^Q] étudièrent les propriétés générales des courbes géométriques. L'astronome Halley(i656- 1742), par ses belles traductions d'Apollonius et de Ménéiaûs ; Simson (1687-1768), par ses écrits sur les coniques, sa restitution de la section déterminée d'Apollonius et sa remarquable tentative de divination des Porismes; Stewart ( 1 7 1 7i')Z5),'çd.\ ses Théorèmes généraux, tâchèrent de ranimer le goùl des méthodes anciennes. Mais, en dépîl de ces louables efforts, et malgré quelques questions Irailées par Euler (1707- 1783), Lambert (1728-1777) et d'autres célèbres analystes, aucune doctrine nouvelle ne surgit jusqu'au xix° siècle, et cette période se distingue surtout par les belles applications que l'on fit de la Géométrie à l'étude des phénomènes naturels.

Au commencement du xis' siècle, la création de la Géométrie descriptive marqua une ère nouvelle dans l'histoire de la

(•) Cbxsles, Aperça historique,... Bruxelles, iSSj.

PRËFAGR. XXXI

Géométrie. Considérée comme simple doctrine géométrique, indépendamment de son ulililé pratique, la Géométrie de Monge fut d'un immense secours dans l'étude des propriétés de rétendue. En familiarisant l'esprit avec la forme des corps, elle développa noire puissance de conception, éclaira la Géométrie analytique dont elle apprit à interpréter les résultats avec une grande facilité, et permit de raisonner, dans les cas les plus compliqués, sans le secours de ces figures qui, en absorbant l'attention, entravent la pensée. Elle montra l'alliance intime des figures planes et des figures de l'espace, et la science s'enrichit dès lors de ces méthodes élégantes et tant cultivées depuis qui permettent de déduire des propriétés des figures à trois dimensions les théorèmes de la Géométrie plane.

C'est encore à Monge et à son école qu'on doit l'introduction dans la Science d'un mode de démonstration qui, bien que manquant au fond de cette rigueur si justement recherchée des géomètres anciens, a cependant conduit à de magnifiques résultats. Nous voulons parier du principe des retalions contingenies^u de continuité : « Certaines parties d'une figure, » considérées dans un état général de construction, peuvent

■ être indifféremment réelles ou imaginaires. Or il arrive B souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de " la réalité, à la démonstration d'un théorème, et que celte " démonstration n'a plus lieu quand ces mêmes parties de-

■ viennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu du principe de » continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend

■ au second, et on l'énonce d'une manière générale. Quelque- » fois le contraire a lieu, et c'est quand certaines parties d'une » figure sont imaginaires que l'on y trouve tes éléments d'une • démonstration facile, dont on applique ensuite les consé- » quences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces " mêmes parties sont réelles et où la démonstration n'existe

" plus {*). " Tel a été le point de départ de l'iniroduclion des imaginaires en Géométrie; mais nous devons ajouler que celte, introduction si importante n'a été accomplie, d'une manière véritablement irréprochable, qu'un peu plus lard par M, Chasies, dont les démonstrations se distinguent par ce caractère spécial, que les objets susceptibles de devenir imaginaires n'y entrent pas sous forme explicite, mais y sont représentés par des éléments réels, de même que les racines d'une équation n'entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie analytique, mais y sont représentées coilectîvemenlpar les coefficients de celte équation.

L'apparition de la Géométrie de Monge recula les bornes de la Géométrie pure, un peu délaissée depuis un siècle, et l'on chercha dès lors à obtenir par cette voie seule les nombreux résultats dont l'analyse de Descaries avait enrichi la Science. Parmi les ouvrages entrepris dans ce but et qu'on peut regarder comme l'heureuse continuation de ceux de Desargues et de Pascal, il faut citer au premier rang la Géométrie de posilion et VEssai sur les transversales de Carnot. les Développements de Géométrie de Charles Dupin, et le grand Traité des Propriétés projectives des figures dans lequel Poncelet, par l'habile emploi du principe de continuité et la belle création des théories des polaires réciproques et des figures homologiques, a démontré toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second ordre, et a doté en outre la Science d'une foule de résultats nouveaux. Il convient de signaler encore les savants écrits de Hachette, Brianchon, Gergonne, Dandelin, Quelelet, les travaux de' Gaultier, de Steiner et de Gudermann sur la Géométrie de la sphère qu'avaient déjà cultivée Lexell, Fuss, LhuîiUep de Genève et

C) CiFASLE!. PrétacB do la Géométrie supérieure, tSifi.