PREFACE. XXXIII

Magnus de Berlin; la belle Théorie de la rotation des corps de Poinsol; leséludesclece géomètre, deCauchyeldeM.BerlrancI sur les polyèdres; enfin les belles recherches de Géométrie infinitésimale de M. 0. Bonnet.

Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrès continus réalisés par la Géométrie depuis soixante ans. Il suffît de citer V Aperçu historique, la Géométrie supérieure, le Traité des Porismes ; les recherches sur Yattraction des ellipsoïdes, sur les cônes du second ordre, sur tes surfaces réglées; le Mémoire sur la dualité et Vhomographie, ces deux lois si générales de l'étendue figurée; la nouvelle méthode de détermination des caractéristiques des systèmes de coniques, et tant d'autres productions de ce maître émînent.

La Géométrie marche donc à grands pas dans une voie féconde. GrSce aux belles conquêtes de noire siècle, elle a regagné sur l'Analyse le terrain perdu.

Après cette rapide excursion dans le domaine de l'histoire, nous devons dire un mot du Traité que nou^ présentons au lecteur.

Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études : on peut se restreindre aux Programmes officiels et n'en pas franchir le cadre; on peut aussi, en suivant strictement ces Programmes dans ce qu'ils ont d'obligatoire, aller au delà et essayer de les compléter. Pour appliquer une science, il ne suffit pas d'en connaître quelques parlies; il faut être familiarisé avec toutes ses méthodes, en saisir î'ensemhle. Les magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n'ont pas pénétré dans l'enseignement; délaissées par les Programmes, elles n'occupent pas dans la série des éludes mathématiques la place qui leur est due; on en parle à peine et accessoire-

SXXIV PRÉFACE.

ment en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort être une nouvelle conquête de l'admirable instrument créé par Descartes. Nous sommes loin de reprocher aux Programmes leur silence à cet égard; ils sont tellement chargés, qu'on serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on apprendre un programme d'examen et essayer en même temps de comprendre la portée de la science que l'on étudie, en prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses principales méthodes? Telle est la pensée qui nous a guidés dans la composition de cet Ouvrage; c'est aussi celle qui apparaît dans le choix des caractères employées.

Borné aux parties imprimées en caractères ordinaires, l'Ouvrage est entièrement conforme aux Programmes officiels et fi leur esprit. Les numéros imprimés en petits caractères contiennent d'utiles développements du texte destinés aux candidats aux Écoles spéciales. Enfin les Appendices sont consacrés à l'exposition des nouvelles méthodes. L'élève studieux les lira à son aise sans se préoccuper de la nécessité de retenir immédiatement tous les détails; il y puisera une profonde, admiration pour la science dont les limites lui apparaîtront si lointaines, un goût des spéculations mathématiques qui donnera à son esprit plus de rectitude et de fermeté; et, à mesure que son savoir gagnera en étendue, par une réaction inévitable, les matières exigées, éclairées par ses nouvelles connaissances, perdront pour lui leur difficulté première.

La Table analytique des Matières indique suffisamment les améliorations nombreuses apportées à cette sixième édition. Nous mentionnerons cependant, en particulier, les développements plus étendus consacrés à l'exposé des différentes méthodes de résolution "des problèmes; les premières notions surl'involution données dès la Géométrie plane; l'étude des faisceaux de cercles; l'examen détaillé de quelques pro-

blêmes remarquables, devenus classiques. On nous permettra de dire, à cet égard, que nous croyons avoir amélioré l'élégante solution du problème du cercle tangent à trois cercles donnés, due à Gergonne, en la rendant complètement générale et en la débarrassant de toute ambiguïté.

Nous devons ajouter que, depuis quelques années, un grand nombre de géomètres se sont occupés des propriétés du triangle, et qu'un nouveau Chapitre très intéressant a été ajouté par eux à la Science, Nous ne pouvions laisser ces recherches de côté, et nous commencions à les coordonner pour notre nouvelle Édition, lorsque M, J. Neuberg, professeur à l'Université de Liège, et l'un de ceux qui, avec MM. E. Lemoine et H. Brocard, ont le plus contribué à ces découvertes, a bien voulu nous communiquer un travail complet sur ce sujet et en extraire, en notre faveur, la Note IIl placée à la fin de cette première Partie de notre Traité, Cette Note lui appartient intégralement, et nous nous sommes bornés à y ajouter quelques indications bibliographiques très succinctes. Nous sommes heureux de témoigner ici notre gratitude à M. J. Neuberg pour son obligeante confraternité scientifique, sans oublier nos éditeurs et amis qui n'ont pas hésité à faire exécuter, pour cette Note complémentaire, des figures très compliquées.

Noua ne pouvons mieux faire, en terminant, que de continuer à remercier nos collègues et nos lecteurs. C'est grâce à eux que nous pouvons poursuivre notre tâche, en maintenant toujours ce Traité k la hauteur des progrès réalisés.

TRAITÉ

1. La considération des corps malérieis nous suggère l'idée d'élendue ou de volume. Le volume d'un corps est essentiellement limité; sa limite, qui le sépare de l'espace environnant, prend le nom de surface. Les diverses faces d'un corps sont auiant de surfaces dont les limites ou les intersections mutuelles s'appellent lignes. Ënlïn, on donne le nom de points aux limites ou exiréraités d'une ligne, aux intersections mutuelles des lignes.

Ces idées de surface, de ligne et de point, étant une fols acquises par la considération des corps, la surface, la ligne et le point peuvent ensuite être conçus indépendamment du corps, des surfaces et des lignes, dont ils constituent les limites. C'est ainsi qu'on arrive à regarder inversement une ligne comme le lieu des positions successives d'un point mobile, el une surface comme le lieu des positions successives d'une ligne qui se meut suivant une loi déterminée.

On donne !e nom de figure à un ensemble quelconque do surfaces, de lignes ou de poinis.

La Géométrie a pour objet l'étude des propriétés des figures, et en particulier, comme son nom l'indique, la mesure de l'étendue.

2. La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite, R. et DR C. — Tr. de Géom. ( 1" Parlie). '

s IKTBODUCTIOB.

dont la notion est familière à tout le monde, et dont un fil lendu offre l'image.

Celte ligne est caractérisée par la propriété suivante : Deux points déterminent une droite; en d'autres termes, par deux polnls on peut toujours faire passer une droite, et l'on n'en peut faire passer qu'une. D'où il suit que deux droites qui ont deux points communs coïncident, non-seulement entre ces deux points, mais encore dans toute leur étendue; et, par conséquent, que deux droites distinctes ne peuvent avoir qu'un point commun.

3. En Géométrie, on indique un point par une lettre, une droite par deux lettres affectées à deux de ses points. Ainsi, l'on dit le point A, la droite AB {Jig. i].

Deux portions AB et CD, prises respectivement sur deux droiies indéfinies, ont la même longueur lorsqu'elles sont superposables. La droite CD étant transportée de manière que le point C tombe en A, si l'on peut amener le point D sur le point B en faisant tourner la droite CD autour du point A, la portion CD aura une longueur égale à celle de la portion AB.

Pour (ï/'oM(ec deux portions de droites AB et CD, on porte l'une d'elles, CD, en BE, à la suite de i'aulre prolongée ; la somme est la longueur de la droite AE comprise entre les points extrêmes; elle est indépendante de l'ordre des parties.

Une droite AE est dite plus grande qu'une autre CD, lorsque sa longueur est la somme des longueurs de celte autre et d'une, troisième.

On remarquera que nous n'avons pas défini le mot longueur; c'est que l'idée de longueur est une de ces notions premières qu'on ne sait ramener à aucune autre. Aussi bien, hSlonsnous de le dire, Il n'est pas nécessaire de savoir définir une grandeur pour pouvoirla mesurer ['), c'est-à-dire la com-

('} P-o>r, à la fin du Volume, la Hôte I Sur la mesure des graadeun.

parer à une autre grandeur de même espèce prise pour unité; il suffit de posséder la notion des grandeurs de cette espèce el d'avoir défini leur égalité et leur addition. C'est ainsi qu'après avoir défini, comme nous venons de le faire, l'égalité et l'addition des lignes droites, on conçoit nettement ce que c'est qu'une portion de droite double, triple, ..,, d'une autre, et en général ayant avec cette autre un rapport quelconque. On nomme distance de deux points A et B la longueur de la droite qui joint ces deux points. Nous n'ndmeltons pas que la distance ainsi définie représente le plus court chemin du point A au point B; c'est là, non un axiome, mais un théorème, qui sera démontré ultérieurement.

4. On nomme ligne brisée une ligne formée de plusieurs portions de droites distinctes; telle est la ligne ABCD {Jig. 2).

Fis- 2-

On confond sous la dénomination commune de lignes toutes les lignes autres que la ligne droite ou les lignes

5. La plus simple de toutes les surfaces est le plan, dont une glace polie peut donner l'idée. La déflnilion géométrique du plan consiste en ce que toute droite qui joint deux points de cette surface y est contenue tout entière. C'est ainsi, par exemple, que, pour vérifier si une table est plane, on s'assure qu'on peut y appliquer dans tous les sens une règle bien dressée, sans qu'il reste aucun vide entre la table et la règle.

Une surface formée de plusieurs portions de plans distinctes est dite brisée; et l'on confond sous la dénomination commune de surfaces courbes toutes les surfaces autres que le plan et les surfaces brisées,

On divise la Géométrie en deux parties : la Géométrie plane, relative aux figures situées dans un plan unique, et la Géométrie dans l'espace, relative aux figures dont les éléments peuvent être disposés d'une manière quelconque dans l'espace.

6. Nous terminerons celte Inlroduclion par quelques remarques importantes.

Toute proposition consiste dans une hypothèse et une conclusion qui en découle, soit immédialemeni, soit en vertu d'un raisonnement qu'on appelle démonstration.

On nomme réciproque d'une proposition une seconde proposition dont l'hypothèse et la conclusion sont respectivement la conclusion et l'hjpothèse de la première. La proposition contraire d'une proposition est une autre proposition. dont l'hypothèse et la conclusion sont respecUvemenl la négation de l'hypothèse et de la conclusion primilives. Ainsi, la proposition «Si A égale B, C égale Dos pour réciproque : «Si C égale D, K égalée», et pour contraire : «Si k n'est pas égal â B, G n'est pas égal à Tin,

La vérîié de la réciproque d'une proposition entraîne celle de la proposition contraire. Ainsi, soii la proposition : aSi K égaleStCégaleD»; de la réciproque: «SiC égaieD, A égaleB», il résulte que «siA n'est pas égalât, C n'est pas égal à B a; car si C était égal à D, A serait égal à B.

De même, la vérité de la proposition contraire d'une proposition entraîne la vérité de la réciproque.

7. En général, lorsque dans une proposition ou dans une série de propositions on a fait toutes les hypothèses possibles sur un sujet déterminé et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions respectives essentiellement distinctes et dont chacune exclut toutes les autres, on peut affirmer que les rf.ciproqîies des propositions établies sont toutes vraies. Nous ferons dans la suite un fréquent usage de ce principe.

GÉOMÉTRIE PLANE