VOX

UUX °'^ "' -' 1-'

ronc

i" Si on laisse arbitraire l'unité linéaire et l'unité angulaire, un angle quelconque a pour mesure le rap/iort des nombres d'unités linéaires conleaiics dans les arcs que l'angle considéré et l'angle uniié interceptent stu- une circonférence quelconque, décrite de leur sommet commun comme

a° Si, sans fixer aucune des deux unités, on les fait correspondre l'une à l'autre, c'est-à-dire si l'on pi-end puur unité d'arc l'arc intercepté par l n le l angle, on a /' = i , et m = ^.

D s r a', an angle quelconque a même mesure que l'arc compris entre ses calés et décrit de son sommet comme centre avec un rayon f elconq c e'esl le théorème du n° d27.

3 Souvent, au lieu d'établir la correspondance entre l'unité linéaireet 1 un te angulaire, on laisse indéterminée l'unité de longueur, el l'on fixe l'unité d'angle ; on prend pour unité angulaire l'angle qui intercepte sur une circnnjérence quelconque un arc égal au rayon. On a alors l'= r, el par suite

Dans ce cas, un angle quelconque a pour mesure le rapport de l'arc qu'il intercepte sur uiie circonférence quelconque décrite de snn sommet comme centre, au rayon de cette circonférence, et inversement, l'arc est égal à l'angle multiplié par le rayon.

Pour rendre facile la comparaison entre ce mode de mesure et l'évaluation en degrés, minutes et secondes, il suffit de rappeler (29S, a") que l'angle unité est alors de ^■]°i-]'i^",&o.. . .

Ajoutons enSn que si, après avoir fixé de la sorte l'unité d'angle, on prend de plus le rayon r pour unité de longueur, on établit ainsi la correspondance des unités linéaire et angulaire, et l'on retombe sur la for-

mule w = ^. L'angle droit est alors n de 45 do.erés par 7) ■ ■ ■ ■ etc.

UVBE ni. — LES FiGUBES SEMBLABLES. IÇf

PROBLÈME

298. Calculer le rapport de la circonférence au diamètre La formule

montre que, pour avoir tt, on peut :

Soit se donner le rayon R et calculer la longueur de la circonférence C : c'est la méthode des périmètres;

Soil se donner la circonférence C et calculer le rayon li : c'est la méthode des isopérimètres.

299. Méthode des périmètres. — Pour R ==:, la formule {i} donne - = \C; le nombre tt est donc égal à la demi-circonférence de rayon i. Par suite, le demi-périmètre de tout polygone inscrit dans cette circonférence est une valeur de :; approchée par défaut, et le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est une valeur de ir approchée par excès. Donc, si on calcule, comme au n^ass, en partant du carré inscrit, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits de 8, i6, 32,, . ,, côtés, les nombres obtenus seront des valeurs par défaut de plus en plus voisines de t: ; et de même, si, en partant du carré circonscrit, on calcule, comme au n" 285, les demipérimètres des polygones réguliers circonscrits de 8, i6, 32,..., côtés, on aura des valeurs par excès de plus en plus voisines de TT. Par exemple, on trouve [283, 285) pour les demi-périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 128 côtés.. . 3,14127 cl 3,14223; on conclut de là que tt est compris entre ces deux nombres et que 3 , 142 est sa valeur à moins d'un millième.

On peut aussi partir de l'bexagone et calculer, comme aux n" 283 et 285, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits de 12, 24, 4^ . côtés.

Ainsi présentée, la méthode des périmètres est très-laborieuse; mais en revanche elle est très-simple en principe; c'est d'ailleurs la méthode suivie par Archimède, l'illustre géomètre qui vivait à Syracuse 25o ans avant J.-C, et auquel appartient la gloire d'avoir trouvé le premier le rapport de la circon-

igS GÉOMÉTRIE PLAKB.

férence au diamètre. Archimède, en partant de l'hexagone et en s'arrêtani aux' polygones inscrit et circonscrit de 96 côtés,

a prouvé que tt était compris entre 3 + — - et 3 ~i Ce dernier nombre 3 -1- — ou — ! qui surpassendemoins d'un demi-

70 7 centième, suffit dans beaucoup d'applications.

I! convient de signaler encore la valeur par excès —-j) qui

est due à Adrien Mélius, et dont l'erreur n'atteint pas un demimillionième.

Nous allons voir que la méthode des isopérimèlres, publiée en i8i3,àNancy, par le géomètre Schwab, conduit à des calculs beaucoup plus simples; nous reviendrons ensuite sur la méthode des périmètres, pour montrer qu'on peut la présenter de telle sorte qu'elle conduise identiquement aux mêmes calculs que celle des isopérimètres.

300. Méthode des isopérimètres. — Elle est fondée sur le principe suivant :

Le nombre - est compris entre les valeurs a et r de l'apo-

t/tème et du rayon de tout polygone régulier dont le périmètre est égal à ï, et l'on peut prendre le nombre n des côtés du polygone assez grand pour que ces valeurs approchent autant qu'on voudra de - ■

En effet, le périmètre du polygone étant compris entre la circonférence inscrite et la circonférence circonscrite, on a

271a <2 <;27r/-, d'où «<;- <r.

D'ailleurs, l'excès du rayon OA = r sur l'apothème OG = n {fis- '97) étant moindre que la moitié AG du côté du polygone, ei le côté ayant pour valeur -, on a