LIVRE HT. — LES riGUBES SEMBLABLES. Itjf

on peut donc prendre n assez grand pour que les différences

qui soni inférieures à c~ n, deviennent moindres que louic quantité donnée.

L'application simultanée de ce principe et du problème du

n" 286 permet de calculer ~ et par suile ;i: avec telle approximation qu'on voudra.

On partira d'un polygone dont on sache trouver directement l'apothème et le rayon, par exemple du carrédontle périmètre

est égal à 2 ; le côté étant égal à - : l'apoihème aura pour valeur

des formules du n" 286, on calculera successivement les apothèmes et les rayons a, et r,, a^ et fs, . • • , «* et /■(., .... des polygones réguliers et isopérimèlres ayant 4>2. 4-2-, ■■. 4-3*, . . ., côtés.

Voici le Tableau des calculs jusqu'à

u polygone de i

a - o,»5ooooo. . r

n,- o,3oi-,56-,.

U: ------ O,^ilëo^l... V,

La dernière ligne montre que - est compris entre o, 3 182 cl

o,3iS4, et par suile a pour valeur o,3i83, à moins d'un dismillième; quant à ir, il est compris entre

>,3iH34i9

c'est-à-dire entre 3,i4i et 3,i43; il a donc pour valeur 3, i4a, à moins d'un millième.

aoo GÉOMÉTHIK TLANE.

entre o el - el que r — j^->. est 1:1 moyenne gcométriqvie entre - Cl a, et l'on est ainsi conduit à ce théorème :

Le nombre - est la Hmite vers laquelle tend la suite (/'■!

obtenus en partant de o et —, et prenant alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent.

Pour compléler l'exposition de la mélhode, i! reste à chercher une limite du nombre des opérations à faire pour obtenir tt avec une approximation donnée.

Pour obtenir - à moins de — ^^ , il suffit qu'on ait

Mais la différence i-i. — "h est moindre successivement (288) que

et, par conséfiuent, qne

4*-".ro' puisque /■,-- fl] = 0,0248. .. est inférieur â — • L'inégalité primitive sera donc vériQéo si l'on a

4^>,o™-, d'où ^>^f.

et, <7/o;/io/ï,

puisque log.'i = 0,60a. . , est supérieur à -■ Viona^ pour ni'cir - à moim^ de — ~f il suffit de pousser tes calculs jusgit'aa polygone de ^.'i,'- côt((s, k étant rentier égal ou immédiatement supérieur à -:[m — i) ' D'ailleurs, dès qu'on connaît une valeur approcliée de - avec m déci-

LirHE III. — LES FIGUBES SEMBLABLES. 201

maies exactes, m étant |iliis grand que t., on peut compter sur m — i décimales exactes dans la valeur approchée qui en résulte pour - [ ' ) •

301. On voit par ce qui précède combiGn le travail est considérable; toutefois, on peut l'abréger considérablement à l'aide de la proposition suivante :

Le nombre - est compris entre les deux qiianlilés

OÙ II et r dê.tii;ncnt Vapnthème et le rayon d'un /loljgmie régulier quelconque, dont le périmètre est égal à a, et ni et ri Pnpothèinc et le rayon du polygone régulier isopcrimètre d'un nombre de eôtés double (E. Rou- Ci!É, t{om'. jinnalet,\SS^).

En efTat, n étant te nombre des côtés du premier polygone, désignons pari*. '"* l'apothème elle rayon du polygone isopéri mètre dont le nombre (les oÛt<Ss est «.a*, i.os rapports (289)

étant moindres que 7 . il en est de même du rapport obtenu on divisant la sommedesnuméra teurs par celle des dénominateurs,e'est-&-diredurappori

ct,par consBC|ueiit,de sa limite

(') En effol, si l'on désisne respeetivoment par < pondantes de it et de -, et par e' et e lei mtours al

rt

poi

en conclut irvu que l'on nil

it-à-dii-e.

202 g£05iKthiil i'i,*M;.

lorsque l'entier m croîl indéfinimenl; on a (loin

(le mÈme sur les rapports