I. — Priaoipe des signes

303. Par dérmitiou un .u-giiiK/it rectiligne diisigiié par AB est la port;:- (Ib droit» rUi parcouniedeA versB; A esl {'origine, B ^IVeMremiu' ei .. droite indéfinie XquiainiiuntA et B estla Wc du segment.

Deux segments sont dits coase'cuUfs lorsque le second a pour orig:!, . l'extrémité du premier.

Qiiacid plusieurs segmenls sont situés sur ime même droite ou sont \ .:■ rallèles à une mûma droite, on choisit, parmi les deux sens dans lesque:cette droite peut être parcourue, celui que l'on veut appeler sens posUii -, puis on attribue au nombre qui mesure ia longueur de chaque segmcir le signe + on le signe — sunant que le segment considéré est décr. dans le seus positif ou dans !e sons opposé. Ce nombre ainsi précédé d'in. signe est la valeur algébrique, du scgmeni. Par exemple, en supposar. qiiiï la distance des points A ot D renferme 5 unités de longueur, et quL' I. sens positif de la droiloX {fig. ?oo) soit celui do la flèche, on a

AU - -h 5, BA- —5 d'oh

(i) AB^--BA.

Lorsque dans une question on a à considérer plusieurs segments do même base, il eA utile le plus souvent de les rap}mrier à une même origine, c'est-à-dire d'exprimer cliacun d'eux en fonction de segmeiUs ayant pour origine commune un point 0 pris è. volonté sur la droite X. On y parvient au moyen de la formule

(2) AB r^ OB-OA,

quicst vraie quelles que soient le.s positions relatives clos points 0, A, B jcr

Fi(T. 200.

la droile X; rar, suivant que Je point intermédiaire est 0, A ou il, on s

AB = AO -<- OB, OU = OA + AB, OA =- OB -t- BA;

d'où l'on lire toujours pour AU la valeur (a) si l'on a é£;ard à la farnu.le(0.

La posilion d'un point A sur une droite OX est déterminée sons ambi- Kuïté dès qu'un connaît le segment OA compté à partir d'un point fixe 0

dioisi d'ailleurs à volonté sur la droite. On donne à ce segment OA le nom à'abscisse du point A ; cette déflnition permet d'énoncer aisément la formule (a) : Un segment quelconque AB est égnl à l'abscisse de wi extréinilé^ tlimlnué^ de fahscisse de son origine A.

Comme application de cette règle, nous proposerons au lecteur du vérifier les relations

OA-^0B=aOI, OA.OB-ÔT'- AÎ" cMiro trois points qiielconques 0, A, B situés en ligne droite, ! étant le milieu de AB ; ii suffit dû rapporter tous les segments à l'origine I-

L'emploi des signes permet de raisonner d'une manière générale et de se débarrasser de certaines conditions de situation qui i-endent les démonstrations pénibles et les énoncés obscurs, i'ar eïejnple, quand on a égard aux signe;;, la proposition du n" 17!) dénonce : Sur ta diviic imléfinie X' X qui piisie par deux }>oiiils k cl B, U cdste un .u-ul point M tel que le rapimrt ■,.,^ ait une valeiw assignée. Ce point est sitQÔ cnlre .\ et B, ou sur l'un des prolongements de AB, suivant que la valeur du rapport est négative ou positive. Ainsi énoncé, ce lemme permettrait de simplifier notablement les démonstrations des n"* ISi, 23G, 23T.

30i. Considérons un cercle de rayon égal à l'unité (A^ - '-io') et deux diamètres perpendiculaires à'A et B'B. Supposons qu'un mobile M parlant de A décrive la circonférence en tournant dans un sens déterminé, par exemple dans le sens opposé au mouvement des aiguittes d'une montre; ce mobile décrira un arc x qui, nul an départ, prend successivement les valeurs ps :t, --. :i~, -■■> ■■■ j mesure que ic mobile arrive respectivement aux points B, A', B', A, B Si lemobilo, partant

toujours du point A iiue nous pre

sens inverse, il décrirait des nrcs négatifs égaux respectivement on v leur absolue aux arcs positifs décrits dans le premier cas. D'après ce!

icQ GtoMETEiE tlam:.

l'arc X est une variable qui peu! passer par tous les étals de grandeur -:;

Tnirs les arcx qid, iiyaiil la même nrigine A, ont une même cj^irêiiiili- M, .m/il compris dnns lu foi-m'ile -xli- -\~ ï, oit y. désigne le plus petit dn arcs positifs qui vont de KenM et k un nombre entier quelconque pmitif, nul ou négtilif; eu effet, deux arcs quelconques de la série difforeiiî évidemment d'un certain nombre de tours, c'est-à-dired'uiimaltipledea-.

Cela posé, soient « et v deux directions données et OU et OV deux demi-droites menées par un point arbitraire 0 parallèlement à ces direttions. Du point 0 comme contre, décrivons [Jîg. igg) un cercle (irayon i, et désignons par N et M les points od ce cercle rencontru respectivement OU etOV; enfin prenons pour sens positif sur ce cercle h' sens opposé au mouvement des aiguiiles d'une montre. On noinnii angle de In direction u iiveo la direction i' ou angle de In demi-droile OV avec kl demi-droite OV, l'angle qui a pour mesure s + ailîr, k étant \~ plus petit are positif ayant N pour origine et M pour extrémité, et l ui. nonibro cnUer quelconque posilif nul ou ni'ijaîif. Cet angle, aînai déllui. n'est déiermiaé qu'à un multiple prcî df l'.-r.: ou le désigne par ï;OV; OU est le côté origiiia et OV le c:>te e-vtn-),,::

En vertu de cette même définition, on aura pour l'angle VOU Ue lu direction OV avec la direction OU, la valeur — a -^ a A' tt; on adoncakM>

(1) UOV--VOC-^->./;v.

liOS. Deux angles de même sommet sont dits consécutifs lorsque !■ côLé origine du second est le cOté exlrfime du premier.

Quand plusieurs angles ont le même sommet 0, il est commode le l'Iiisouvent do les rapporter à un mftme côté origine OX; on y parvient l'aide de la formule

(a) UOV - XOV - XOU -■- a"r.

que Ion dâmontre de la manicro suivante. Désignons rcspectivumei. pur a, p, Ylespl^^ps''''*^ valeurs positives des arcs AN, NM, MA comptés sur le cercle de- rayon i ayant 0 pour contre : on a évidemment.

étant un entier positif.

Mais ies définitions du numéro précède

ni donneul

X0li = :< ---ïA^.

UOV =p -:>-k'-.

XOV - - - VOX --:

-Y.'-.iF-,

L il suffit de tirer de ces relations a. 3, édente pour tomber sur !a formule (ai

Y et de le,* porter 'lan,qu'on énonce ainsi : ,

UOV de la direction OU wec lu dirr.clioii OV est é^td à l'angle qiCne lUreotion quelconque OS.ff'it avec le côté extrémedS ,dimiimii île l'angle ijiie la mène direction OX fuit avec le côté origine OU.

THÉORIB DES PROJECnONS,

301(. Soiiiiit X'X et yy deux droites qui se coupent en un point 0 {fig. ■ioi): A étant un point quelconque du plan XOY, on nomme pra- /t-ciîmi du point A sur X' X le lîoint fi où cette droite rencontre la par;;!-

lÈIftâTy menée par A. La droite Ao reçoit le nom c\o prn//:ùinlc ihi point A ot la droite X'X celui à'tixe de projection,

La projection est dite orthogonale ou oblique suivant qno Y'Y esl perpendiculaire ou oblique sur l'axe X'X.

On nomme pmjer.tion d'un segment AB la segrneot ab qui a respective' ment pour orisine cl poi:r extrémité les projections tin l'originu et da l'estrémilé Jii rogmo;,! AB.

Oit nomme re'snltaiite de plusieurs segments conscculifs AB, BC, C?>, l)ii (^. ïoa'), le segment AE qui a pour f)rin:ine l'origine du premier, el pour exlréraité l'extrémité du dernior; les segmenis AB, BC, CD, DE prennent le nom de composantes.

Lfi projection delà résultante est la somme {iilgébriqiic) des projections lies composantes ; on d'autres termes, on a, quel quo soit le sens positif adopté pour X'X,

ae : alf^bc -i- cd -i- de,

c'est-à-diro

En effet, en rapportant luus les iegments qui figurent dans le pivmi^i membre à une origine commune, ce premier meinlji-e prend la formi' („/, - „„) -^. („c - „i) -■- {,„l - w) -^ i «f - ml) -i- {ou - '«■>, dans laquelle chaque lerme est déti-nit par un tonne égal et de signe con-

Tel est le thèui-ème géiêml des piojectioiis. La Tiûgonométrie peniK". de traduire cet énoncé en une relation entre les segments consécutifi oi leurs inclinaisons sur i'axc de projection.

307. Pour arriver à ce but, nous commencerons par généraliser b prupriété fondamentab des triangles rectilignes (').

Assignons aux droites qui forment les côtés d'un triangle uu sens positif choisi à volonté pour chacune d'elles; les segments et les angles relatifs à ces directions auront dès lors des signes bien déterminés, et Von jiourra énoncer le théorème suivant :

Dam touC Iriuiigk ivcUligne ABC "" ", '■" grniiihur et en iigi'i; k■^ relations

i,l') siiH6>7) " *i'H7'«>

ihiiii Icsqiini/es K, p, 7 désignent respceti\'emciH les directions pv.uti\>es di's droites opposées aux sommets A, B, C.

En effet : observons d'abord que si les relations (i) sont vraies pour 1111 choix particulier des directions positives, elles subsistent quand on change le sens positif de l'une des trois droites; car, si l'on change, par exemple, le sens positif de la droite opposée au sommet A, les facteurs lîC, sin(K, p), sin{7,«) changent de signe, tandis que les trois autres facteurs restent les mêmes. Pour achever la démonstration du théorème, il siilûl donc do prouver qu'il a lieu pour un chois particulier des directions positives. Or, si l'on adopte pour sens positif de chaque droite le sens dans lequel elle est imrcourue quand on décrit le contour du triangle en suivant l'ordre alphahétîque, on a, en désignant comme à l'ordinaire, par rt, é, c, A, B, C les valeurs absolues des côtés et des angles de ce triangle,

AB =■ -H 1;, BC - -*- n, CA =---. + b,

(')Kous Tiigonomtii