LA LIGNE DROITE

I î. " DES ANGLES.

8. La considéra lion de deux droites AB el AC qui se rencontrenl {Jig. 3) conduit à une idée nouvelle, qui est celle d'inclinaison mutuelle ou A'angle, et qui, comme l'idée de longueur, nesaurait être définie, c'est-à-dire ramenée à une idée plus simple; ce qu'on définit, c'est V égalité el Y addition des angles.

Fie. 3- i''ie- 4-

Les deux droites AB et AG sont les côtés de l'angle, et leur point d'intersection A est son sommet. On désigne un angle (sole par la lettre du sommet. Lorsque plusieurs angles oni même sommet, on indique celui des angles qu'on considère au moyen de trois lettres, savoir: deux lettres placées sur les côtés et la lettre du sommet qu'on énonce au milieu. Ainsi, dans \»Jig- 3, on dit simplement l'angle A ; dans la Jig. 4, on dislingue les trois angles BAC, CAD, BAD.

Deux angles, tels que BAC et CAD, qui ont le même sommet A, un côté commun AC, et les deux autres côtés AB et AD

6 GfiOMflTElB PL*NB.

siuiés de pari et d'autre du côté commun, sont appelés adjor cents.

9. On dit que deux angles sont égaux lorsqu'on peut les porter l'un sur l'autre, de manière qu'ils coïncident. Ainsi, lorsqu'on aura placé !e côté A' B' sur AB, de façon que le sommet A' soit en A et que le côté A' G' tombe comme AC audessus de AB (/g-, 5), ii faudra, pour que les angles A el A' soient égaux, que le côté A' G' s'applique sur AC. FfB- 5.

Pour ajouter deux angles BAC, FEG, on transporte l'un d'eux à la suite de l'autre {Jig. 6], de manière à former les deux angles adjacents BAC, CAD; l'angle BAD des deux côtés non communs AB et AD est la somme des deux angles proposés; cette somme est indépendante de l'ordre des parties.

10. D'après ces défmiiions, la grandeur d'un angle est indépendante de la longueur de ses côtés.

Si l'on suppose que l'un des côtés AC, d'abord appliqué sur l'autre AB, tourne autour du point A, comme une branche de compas autour de sa charnière, le côté mobile AC fait avec le côté fixe AB un angle qui croît d'une manière continue.

li. On dit qu'une droite AD est perpendiculaire sur une droite BC (/ig. 7), lorsque les deux angles adjacents AOB, AOC,

UYIIB I. — lA LIGWB DROITE- 7

qu'elle forme avec celîe-ci, sont égaux. Sî la droite AO est telle (Jig. 8), que les angles adjacents AOB, AOC, soient inégaux, on dit que celle droite est oblique sur BC.

Le poînl 0 esl le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique AO.

On appelle«ng-fe JraiV toulangle AOBf/â". 9) dont un côté esl perpendiculaire sur l'aulre.

12. Deux angles soni diis opposés par le sommet lorsque les côtés de l'un sont les prolongements des c&tés de l'aulre. D'après cela, deux droites indéûnies BB' et CC (Jig- 10) forment. en se coupant au point A, quatre angles BAC, ei B'AC, GAB' et BAC, qui sont deux à deux opposés par le sommet.

Fig. .0.

THÉORÈME

13. Par un point \, pris sur une droite ne, on peut toujours élever une perpendiculaire AB sur celte droite, et l'on ne peut en élever qu'une (fig' n ).

En effet, supposons qu'une droite AE, d'abord appliquée sur AC, tourne autour du point A dans le sens de la flèche. L'angle EAC, nul au début, croîtra constamment, tandis que

8 GËONËTHIE PLANE.

l'angle adjacent EAD diminuera sans cesse et finira par s'annuler, lorsque la droite AE viendra s'appliquer sur AD. Donc l'angle EAC, d'abord intérieur à l'angle EAD, différera de moins en moins de cet angle, lui deviendra égal, puis le surpassera de plus en plus. D'après cela, parmi les positions successives delà droite AE, il y en aura une.eluneseuleAB, pour laquelle les angles adjacents BAC et BAD seront égaux, c'est-à-dire pour laquelle celte droite sera perpendiculaire sur DC. Fig. !.. Fie. ri.

Corollaire.

14, Tous les angles droits sont égaux.

Soient (/g'. la ) les deux angles BAC, B'A'C, qui ont été formés, le premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, le second en élevant la perpendiculaire A'B' sur A'C; ces deux angles sont droits, et il faut démontrer qu'ils sont égaux. Transportons à cet effet la deuxième figure sur la première, de façon que le point A' tombe en A et que le côté A'C s'applique sur AC; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire sur AC au point A : il s'appliquera donc sur AB, puisque par le point A on ne peut élever sur AC qu'une seule perpendiculaire. Donc les deux angles BAC, B'A'C coïncideront, c'est-à-dire (9) seront égaux.

SCOLII.

15, L'angle droit est donc un type invariable auquel on peut rapporter les autres angles.

On dit qu'un angle est aigu ou obtus suivant qu'il est p/m petit ou plus grand que l'angle droit. Ainsi, dans la Jtg. 11 , l'angle EAC est aigu et l'angle EAD est obtus.

Deux angles sont d'ns complémentaires lorsque leur somme est égale à un angle droit. Ainsi, dans la^î^. n , chacun des